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4G/5G 下行解码数学原理详解

创建日期： 2026-03-18
作者： AI Assistant
版本： 1.0
标签： 通信、信号处理、数学、4G、5G、OFDM、信道估计

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第一部分：数学基础工具
├── 第 1 章 概率论基础
│   ├── 1.1 随机变量与概率分布
│   ├── 1.2 数学期望与性质
│   ├── 1.3 方差与协方差
│   └── 1.4 条件概率与贝叶斯公式
├── 第 2 章 随机过程
│   ├── 2.1 随机过程基本概念
│   ├── 2.2 平稳性与各态历经性
│   ├── 2.3 自相关与互相关函数
│   └── 2.4 功率谱密度
├── 第 3 章 线性代数
│   ├── 3.1 矩阵运算与分解
│   ├── 3.2 特征值与特征向量
│   ├── 3.3 正定矩阵与二次型
│   └── 3.4 矩阵求逆引理
├── 第 4 章 估计理论
│   ├── 4.1 参数估计基本概念
│   ├── 4.2 最大似然估计 (MLE)
│   ├── 4.3 最小二乘估计 (LS)
│   └── 4.4 贝叶斯估计
└── 第 5 章 检测理论
    ├── 5.1 假设检验基础
    ├── 5.2 最大后验概率检测 (MAP)
    └── 5.3 最小均方误差准则

第二部分：通信系统数学模型
├── 第 6 章 信号空间表示
│   ├── 6.1 基函数与信号展开
│   ├── 6.2 星座图与欧氏距离
│   └── 6.3 匹配滤波器
├── 第 7 章 无线信道建模
│   ├── 7.1 多径衰落模型
│   ├── 7.2 多普勒频移
│   ├── 7.3 信道统计特性
│   └── 7.4 相关矩阵建模
└── 第 8 章 噪声模型
    ├── 8.1 高斯白噪声 (AWGN)
    ├── 8.2 复高斯分布
    └── 8.3 噪声方差估计

第三部分：核心算法数学推导
├── 第 9 章 信道估计算法
│   ├── 9.1 LS 估计的统计特性
│   ├── 9.2 LMMSE 估计完整推导
│   ├── 9.3 相关矩阵的计算与简化
│   └── 9.4 插值算法的数学原理
├── 第 10 章 均衡算法
│   ├── 10.1 ZF 均衡的数学分析
│   ├── 10.2 MMSE 均衡最优性证明
│   └── 10.3 MIMO 检测算法
├── 第 11 章 解调与软信息
│   ├── 11.1 最大似然检测
│   ├── 11.2 LLR 计算的数学推导
│   └── 11.3 高斯近似
└── 第 12 章 信道解码
    ├── 12.1 最大后验概率解码
    ├── 12.2 BCJR 算法推导
    ├── 12.3 置信传播算法
    └── 12.4 收敛性分析

第一部分：数学基础工具

第 1 章 概率论基础

1.1 随机变量与概率分布

定义

随机变量 \(X\) 是从样本空间到实数的映射： \(\(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\)\)

概率密度函数 (PDF)： \(\(f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x) = \frac{d}{dx}P(X \leq x)\)\)

通信中的关键分布

分布 PDF 应用场景
高斯分布 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) 噪声建模
复高斯 $f(z)=\frac{1}{\pi\sigma2}e{-\frac{ z-\mu
瑞利分布 \(f(r)=\frac{r}{\sigma^2}e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}, r\geq0\) 无 LOS 信道幅度
莱斯分布 \(f(r)=\frac{r}{\sigma^2}e^{-\frac{r^2+A^2}{2\sigma^2}}I_0(\frac{rA}{\sigma^2})\) 有 LOS 信道幅度

1.2 数学期望与性质

定义

离散随机变量： \(\(E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)\)\)

连续随机变量： \(\(E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) dx\)\)

核心性质

性质 公式 说明
线性性 \(E[aX+bY] = aE[X]+bE[Y]\) 最重要！
独立性 \(E[XY] = E[X]E[Y]\) (若 X,Y 独立) 去相关
函数期望 \(E[g(X)] = \int g(x)f_X(x)dx\) LOTUS 定理
条件期望 $E[X] = E[E[X Y]]$

通信中的应用

接收信号模型： \(\(y = hx + n\)\)

其中 \(n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\) (复高斯噪声)

\[E[y] = E[hx] + E[n] = hx + 0 = hx\]

噪声功率： \(\(E[|n|^2] = \text{Var}(n) + |E[n]|^2 = \sigma^2 + 0 = \sigma^2\)\)

1.3 方差与协方差 ⭐

方差定义

\[\text{Var}(X) = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2\]

性质： \(\(\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)\)\)

协方差定义

\[\text{Cov}(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]\]

物理意义： 衡量两个随机变量的线性相关程度

Cov 值 含义
Cov > 0 正相关
Cov < 0 负相关
Cov = 0 不相关 (不一定独立！)

相关系数

\[\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} \in [-1, 1]\]

在信道估计中的关键应用

信道向量： \(\mathbf{h} = [h_0, h_1, ..., h_{N-1}]^T\)

自相关矩阵 (N×N)： \(\(R_{hh} = E[\mathbf{h}\mathbf{h}^H] = \begin{bmatrix} E[h_0 h_0^*] & E[h_0 h_1^*] & \cdots & E[h_0 h_{N-1}^*] \\ E[h_1 h_0^*] & E[h_1 h_1^*] & \cdots & E[h_1 h_{N-1}^*] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ E[h_{N-1} h_0^*] & E[h_{N-1} h_1^*] & \cdots & E[h_{N-1} h_{N-1}^*] \end{bmatrix}\)\)

元素含义： \(\([R_{hh}]_{ij} = \text{Cov}(h_i, h_j) + E[h_i]E[h_j]^*\)\)

若信道零均值 (\(E[h]=0\))： \(\([R_{hh}]_{ij} = \text{Cov}(h_i, h_j)\)\)

1.4 条件概率与贝叶斯公式

条件概率

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0\]

贝叶斯公式 ⭐⭐⭐

\[P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{\sum_i P(B|A_i)P(A_i)}\]

在通信中的解释：

项 符号 含义
后验概率 $P(x y)$
似然函数 $P(y x)$
先验概率 \(P(x)\) 发送 x 的概率 (通常等概)
证据 \(P(y)\) 收到 y 的总概率

最大后验检测 (MAP)

\[\hat{x} = \arg\max_x P(x|y) = \arg\max_x P(y|x)P(x)\]

若等概发送 (\(P(x)\) 相同)： \(\(\hat{x} = \arg\max_x P(y|x) = \arg\max_x \log P(y|x)\)\)

这就是**最大似然检测 (ML)**！

第 2 章 随机过程

2.1 随机过程基本概念

定义： 随机过程是一族随机变量 \(\{X(t), t \in T\}\)

通信中的例子： - 噪声过程 \(n(t)\) - 衰落信道 \(h(t)\) - 发射信号 \(s(t)\)

2.2 平稳性与各态历经性

严平稳

概率分布不随时间平移改变： \(\(f_{X(t_1),...,X(t_n)}(x_1,...,x_n) = f_{X(t_1+\tau),...,X(t_n+\tau)}(x_1,...,x_n)\)\)

宽平稳 (WSS)

只需满足： 1. \(E[X(t)] = \mu\) (常数) 2. \(R_X(t_1, t_2) = R_X(t_1-t_2)\) (只与时间差有关)

各态历经性

时间平均 = 统计平均

\[\lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} X(t)dt = E[X(t)]\]

实际意义： 可以用一次 realization 的时间平均来估计统计特性！

2.3 自相关与互相关函数 ⭐⭐⭐

自相关函数

\[R_X(\tau) = E[X(t)X^*(t+\tau)]\]

物理意义： 信号在不同时刻的相关程度

性质： - \(R_X(0) = E[|X(t)|^2]\) (平均功率) - \(R_X(\tau) = R_X^*(-\tau)\) (共轭对称) - \(|R_X(\tau)| \leq R_X(0)\) (最大值在原点)

互相关函数

\[R_{XY}(\tau) = E[X(t)Y^*(t+\tau)]\]

在信道估计中的应用

频域信道相关： \(\(R_{HH}[k] = E[H[m]H^*[m+k]]\)\)

Jakes 模型 (经典多径信道)： \(\(R_H(\Delta f) = \frac{1}{1+j2\pi\Delta f \cdot \tau_{rms}}\)\)

其中 \(\tau_{rms}\) 是 RMS 时延扩展

时域信道相关 (多普勒)： \(\(R_H(\Delta t) = J_0(2\pi f_d \Delta t)\)\)

其中： - \(J_0(\cdot)\) 是第一类零阶贝塞尔函数 - \(f_d = \frac{v}{c}f_c\) 是多普勒频移

2.4 功率谱密度 (PSD)

定义

\[S_X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau\]

维纳 - 辛钦定理： PSD 是自相关的傅里叶变换

通信中的应用

AWGN 噪声： \(\(R_n(\tau) = \sigma^2\delta(\tau) \quad \Rightarrow \quad S_n(f) = \sigma^2 \text{ (常数)}\)\)

多径信道 PSD： \(\(S_H(f) = \begin{cases} \frac{1}{\pi f_d\sqrt{1-(f/f_d)^2}} & |f| < f_d \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)\)

(经典 Jakes 谱)

第 3 章 线性代数

3.1 矩阵运算与分解

共轭转置 (Hermitian)

\[A^H = (A^*)^T\]

酉矩阵

\[U^H U = U U^H = I\]

应用： FFT 矩阵是酉矩阵

矩阵分解

特征分解： \(\(A = U\Lambda U^{-1}\)\)

奇异值分解 (SVD)： \(\(A = U\Sigma V^H\)\)

应用： MIMO 信道容量分析

3.2 特征值与特征向量

定义

\[Av = \lambda v\]

性质

  • Hermitian 矩阵的特征值为实数
  • 正定矩阵的特征值全为正

在 MIMO 中的应用

信道矩阵 H 的 SVD： \(\(H = U\Sigma V^H\)\)

预编码： 发射端用 \(V\) 作为预编码矩阵
接收端： 用 \(U^H\) 作为均衡矩阵

结果： MIMO 信道分解为多个并行的 SISO 子信道！

3.3 正定矩阵与二次型

正定矩阵

\(A \succ 0\) 当且仅当 \(x^H A x > 0\) 对所有非零 \(x\)

二次型

\[f(x) = x^H A x\]

在 MMSE 中的应用

MSE 代价函数： \(\(J(w) = E[|x - w^H y|^2] = R_{xx} - w^H R_{yx} - R_{xy}^H w + w^H R_{yy} w\)\)

这是关于 \(w\) 的二次型！

3.4 矩阵求逆引理 ⭐⭐⭐

Woodbury 恒等式

\[(A + UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}\]

特殊情况 (Sherman-Morrison)

\[(A + uv^H)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^H A^{-1}}{1 + v^H A^{-1} u}\]

在 LMMSE 中的应用

LMMSE 需要计算： \(\((R_{hh} + \sigma^2 I)^{-1}\)\)

使用矩阵求逆引理可以大幅降低复杂度！

第 4 章 估计理论

4.1 参数估计基本概念

问题描述

观测数据 \(y\) 与未知参数 \(\theta\) 的关系： \(\(y = f(\theta) + n\)\)

目标： 从 \(y\) 估计 \(\theta\)

估计量评价标准

标准 定义 公式
无偏性 期望等于真值 \(E[\hat{\theta}] = \theta\)
一致性 样本→∞时收敛 \(\hat{\theta}_N \xrightarrow{a.s.} \theta\)
有效性 方差最小 \(\text{Var}(\hat{\theta})\) 最小
均方误差 综合指标 \(\text{MSE} = E[(\hat{\theta}-\theta)^2]\)

MSE 分解 ⭐

\[\text{MSE} = \text{Var}(\hat{\theta}) + [\text{Bias}(\hat{\theta})]^2\]

方差 - 偏差权衡！

4.2 最大似然估计 (MLE) ⭐⭐⭐

定义

\[\hat{\theta}_{ML} = \arg\max_\theta L(\theta) = \arg\max_\theta f(y|\theta)\]

等价于： \(\(\hat{\theta}_{ML} = \arg\max_\theta \log L(\theta)\)\)

高斯噪声下的 MLE

模型： \(y = \theta + n\), \(n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\)

似然函数： \(\(L(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(y-\theta)^2}{2\sigma^2}\right)\)\)

对数似然： \(\(\log L(\theta) = -\frac{1}{2}\log(2\pi\sigma^2) - \frac{(y-\theta)^2}{2\sigma^2}\)\)

最大化： \(\(\hat{\theta}_{ML} = \arg\min_\theta (y-\theta)^2 = y\)\)

MLE 性质

  • 渐近无偏
  • 渐近有效 (达到 CRLB)
  • 一致估计

4.3 最小二乘估计 (LS) ⭐⭐⭐

问题描述

\[y = H\theta + n\]

LS 估计： \(\(\hat{\theta}_{LS} = \arg\min_\theta \|y - H\theta\|^2\)\)

推导

代价函数： \(\(J(\theta) = (y-H\theta)^H(y-H\theta)\)\)

展开： \(\(J(\theta) = y^H y - y^H H\theta - \theta^H H^H y + \theta^H H^H H \theta\)\)

求梯度： \(\(\frac{\partial J}{\partial \theta^*} = -H^H y + H^H H \theta\)\)

令梯度为零： \(\(H^H H \hat{\theta}_{LS} = H^H y\)\)

解： \(\(\boxed{\hat{\theta}_{LS} = (H^H H)^{-1} H^H y}\)\)

在信道估计中的应用

导频位置： \(Y_p = H_p X_p + N\)

LS 估计： \(\(\hat{H}_{p,LS} = Y_p X_p^{-1} = H_p + N X_p^{-1}\)\)

MSE 分析： \(\(\text{MSE}_{LS} = E[|\hat{H}_{LS} - H|^2] = \frac{\sigma^2}{|X_p|^2}\)\)

4.4 贝叶斯估计 ⭐⭐⭐

基本思想

将参数 \(\theta\) 视为随机变量，有先验分布 \(p(\theta)\)

最大后验估计 (MAP)

\[\hat{\theta}_{MAP} = \arg\max_\theta p(\theta|y) = \arg\max_\theta p(y|\theta)p(\theta)\]

最小均方误差估计 (MMSE)

\[\hat{\theta}_{MMSE} = E[\theta|y] = \int \theta \cdot p(\theta|y) d\theta\]

性质： MMSE 估计是条件期望！

高斯 - 高斯模型 ⭐⭐⭐

先验： \(\theta \sim \mathcal{N}(0, \sigma_\theta^2)\)
似然： \(y|\theta \sim \mathcal{N}(\theta, \sigma_n^2)\)

后验： \(\theta|y \sim \mathcal{N}(\mu_{post}, \sigma_{post}^2)\)

其中： \(\(\sigma_{post}^2 = \left(\frac{1}{\sigma_\theta^2} + \frac{1}{\sigma_n^2}\right)^{-1}\)\) \(\(\mu_{post} = \frac{\sigma_{post}^2}{\sigma_n^2} y\)\)

MMSE 估计： \(\(\hat{\theta}_{MMSE} = \frac{\sigma_\theta^2}{\sigma_\theta^2 + \sigma_n^2} y\)\)

物理解释： 加权平均！ - SNR 高时 (\(\sigma_n^2\) 小) → 接近观测 \(y\) - SNR 低时 (\(\sigma_n^2\) 大) → 接近先验均值 0

第 5 章 检测理论

5.1 假设检验基础

二元假设检验

\[\begin{cases} \mathcal{H}_0: y = n & \text{(发送 0)} \\ \mathcal{H}_1: y = s + n & \text{(发送 1)} \end{cases}\]

判决规则

\[\Lambda(y) = \frac{p(y|\mathcal{H}_1)}{p(y|\mathcal{H}_0)} \underset{\mathcal{H}_0}{\overset{\mathcal{H}_1}{\gtrless}} \eta\]

5.2 最大后验概率检测 (MAP)

推导

\[\hat{x} = \arg\max_{x_i} P(x_i|y) = \arg\max_{x_i} p(y|x_i)P(x_i)\]

高斯信道下的 MAP

模型： \(y = x_i + n\), \(n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)

似然： \(\(p(y|x_i) = \frac{1}{\pi\sigma^2} \exp\left(-\frac{|y-x_i|^2}{\sigma^2}\right)\)\)

MAP 判决： \(\(\hat{x} = \arg\max_{x_i} \left[-\frac{|y-x_i|^2}{\sigma^2} + \log P(x_i)\right]\)\)

等价于： \(\(\hat{x} = \arg\min_{x_i} \left[|y-x_i|^2 - \sigma^2 \log P(x_i)\right]\)\)

等概发送时： \(\(\boxed{\hat{x} = \arg\min_{x_i} |y-x_i|^2}\)\)

这就是**最小距离检测**！

5.3 最小均方误差准则

问题

寻找估计量 \(\hat{x} = g(y)\) 最小化 MSE： \(\(\min_g E[|x - g(y)|^2]\)\)

最优解 ⭐⭐⭐

\[\boxed{g^*(y) = E[x|y]}\]

证明：

令 \(g(y) = E[x|y] + \delta(y)\)，则： \(\(\begin{aligned} E[|x-g(y)|^2] &= E[|(x-E[x|y]) - \delta(y)|^2] \\ &= E[|x-E[x|y]|^2] + E[|\delta(y)|^2] \\ &\quad - 2\text{Re}\{E[(x-E[x|y])\delta^*(y)]\} \end{aligned}\)\)

交叉项： \(\(\begin{aligned} E[(x-E[x|y])\delta^*(y)] &= E_y[E_x[(x-E[x|y])\delta^*(y)|y]] \\ &= E_y[\delta^*(y) \cdot \underbrace{E_x[x-E[x|y]|y]}_{=0}] \\ &= 0 \end{aligned}\)\)

因此： \(\(E[|x-g(y)|^2] = E[|x-E[x|y]|^2] + E[|\delta(y)|^2] \geq E[|x-E[x|y]|^2]\)\)

等号成立当且仅当 \(\delta(y)=0\)，即 \(g(y)=E[x|y]\)。

第二部分：通信系统数学模型

第 6 章 信号空间表示

6.1 基函数与信号展开

正交基

\[\int \phi_i(t) \phi_j^*(t) dt = \delta_{ij}\]

信号展开

\[s_i(t) = \sum_{k=1}^N s_{ik} \phi_k(t)\]

向量表示： \(\mathbf{s}_i = [s_{i1}, s_{i2}, ..., s_{iN}]^T\)

接收信号

\[y(t) = s_i(t) + n(t)\]

匹配滤波输出： \(\(y_k = \int y(t) \phi_k^*(t) dt = s_{ik} + n_k\)\)

向量形式： \(\mathbf{y} = \mathbf{s}_i + \mathbf{n}\)

6.2 星座图与欧氏距离

QPSK 星座

\[\mathcal{S} = \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\pm 1 \pm j)\right\}\]

成对错误概率

\[P(s_i \to s_j) = Q\left(\sqrt{\frac{d_{ij}^2}{2\sigma^2}}\right)\]

其中 \(d_{ij} = \|\mathbf{s}_i - \mathbf{s}_j\|\) 是欧氏距离

最小距离

\[d_{min} = \min_{i \neq j} \|\mathbf{s}_i - \mathbf{s}_j\|\]

误码率近似： \(\(P_e \approx N_{min} \cdot Q\left(\sqrt{\frac{d_{min}^2}{2\sigma^2}}\right)\)\)

6.3 匹配滤波器

定义

\[h(t) = s^*(T-t)\]

输出 SNR

\[\text{SNR}_{out} = \frac{2E_s}{N_0}\]

匹配滤波器是 AWGN 信道下的最优线性滤波器！

第 7 章 无线信道建模

7.1 多径衰落模型

信道冲激响应

\[h(t) = \sum_{l=0}^{L-1} \alpha_l \delta(t - \tau_l)\]

频域响应

\[H(f) = \sum_{l=0}^{L-1} \alpha_l e^{-j2\pi f \tau_l}\]

频率选择性

相干带宽： \(\(B_c \approx \frac{1}{5\tau_{rms}}\)\)

  • 信号带宽 \(< B_c\)：平坦衰落
  • 信号带宽 \(> B_c\)：频率选择性衰落

7.2 多普勒频移

多普勒频移

\[f_d = \frac{v}{c} f_c \cos\theta\]

相干时间

\[T_c \approx \frac{0.423}{f_d}\]
  • 符号周期 \(< T_c\)：慢衰落
  • 符号周期 \(> T_c\)：快衰落

7.3 信道统计特性

幅度分布

场景 分布 PDF
无 LOS 瑞利 \(f(r) = \frac{r}{\sigma^2}e^{-r^2/2\sigma^2}\)
有 LOS 莱斯 \(f(r) = \frac{r}{\sigma^2}e^{-(r^2+A^2)/2\sigma^2}I_0(\frac{rA}{\sigma^2})\)

相位分布

\[f(\phi) = \frac{1}{2\pi}, \quad \phi \in [0, 2\pi)\]

复信道： \(h = |h|e^{j\phi}\)

7.4 相关矩阵建模

频域相关矩阵

\[[R_{hh}]_{mn} = E[H[m]H^*[n]]\]

指数相关模型

\[[R_{hh}]_{mn} = \sigma_h^2 \rho^{|m-n|}\]

其中 \(\rho\) 是相关系数 (\(0 \leq \rho \leq 1\))

Toeplitz 结构

\[R_{hh} = \sigma_h^2 \begin{bmatrix} 1 & \rho & \rho^2 & \cdots \\ \rho^* & 1 & \rho & \cdots \\ \rho^{*2} & \rho^* & 1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}\]

第 8 章 噪声模型

8.1 高斯白噪声 (AWGN)

定义

  • 高斯： 幅度服从高斯分布
  • 白： 功率谱密度为常数

自相关

\[R_n(\tau) = \frac{N_0}{2}\delta(\tau)\]

功率谱密度

\[S_n(f) = \frac{N_0}{2}, \quad \forall f\]

8.2 复高斯分布

定义

\(Z = X + jY\) 是复高斯，若 \(X, Y\) 是独立同分布的实高斯

PDF

\[f_Z(z) = \frac{1}{\pi\sigma^2} \exp\left(-\frac{|z-\mu|^2}{\sigma^2}\right)\]

性质

  • \(E[Z] = \mu\)
  • \(\text{Var}(Z) = E[|Z-\mu|^2] = \sigma^2\)
  • \(|Z|^2\) 服从指数分布 (若 \(\mu=0\))

8.3 噪声方差估计

基于导频

\[\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N_p} \sum_{k=1}^{N_p} |Y_k - \hat{H}_k X_k|^2\]

基于空闲子载波

\[\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N_{null}} \sum_{k \in \text{null}} |Y_k|^2\]

第三部分：核心算法数学推导

第 9 章 信道估计算法

9.1 LS 估计的统计特性

模型

\[Y_p = H_p X_p + N\]

LS 估计

\[\hat{H}_{LS} = Y_p X_p^{-1} = H_p + N X_p^{-1}\]

无偏性

\[E[\hat{H}_{LS}] = E[H_p] + E[N]X_p^{-1} = H_p\]

✅ LS 是无偏估计

MSE

\[\begin{aligned} \text{MSE}_{LS} &= E[|\hat{H}_{LS} - H_p|^2] \\ &= E[|N X_p^{-1}|^2] \\ &= \frac{\sigma^2}{|X_p|^2} \end{aligned}\]

9.2 LMMSE 估计完整推导 ⭐⭐⭐

问题

\[\hat{H}_{LMMSE} = \arg\min_{\hat{H}} E[|H - \hat{H}|^2]\]

最优解

\[\boxed{\hat{H}_{LMMSE} = E[H] + R_{HY}(R_{YY})^{-1}(Y - E[Y])}\]

推导过程

步骤 1：假设线性估计 \(\(\hat{H} = W Y + b\)\)

步骤 2：MSE 代价函数 \(\(J(W,b) = E[|H - WY - b|^2]\)\)

步骤 3：对 b 求导 \(\(\frac{\partial J}{\partial b^*} = -E[H - WY - b] = 0\)\) \(\(\Rightarrow b = E[H] - W E[Y]\)\)

步骤 4：代入得 \(\(\hat{H} = E[H] + W(Y - E[Y])\)\)

步骤 5：对 W 求导 \(\(\frac{\partial J}{\partial W^*} = -R_{HY} + W R_{YY} = 0\)\) \(\(\Rightarrow W = R_{HY} R_{YY}^{-1}\)\)

步骤 6：最终解 \(\(\hat{H}_{LMMSE} = E[H] + R_{HY} R_{YY}^{-1} (Y - E[Y])\)\)

应用于信道估计

假设： \(E[H] = 0\) (零均值信道)

互相关： \(\(R_{HY} = E[H Y^H] = E[H (HX+N)^H] = R_{HH}\)\)

自相关： \(\(R_{YY} = E[Y Y^H] = E[(HX+N)(HX+N)^H] = R_{HH} + \sigma^2 I\)\)

LMMSE 估计： \(\(\boxed{\hat{H}_{LMMSE} = R_{HH} (R_{HH} + \sigma^2 I)^{-1} Y}\)\)

9.3 相关矩阵的计算与简化

精确计算的问题

  • 需要知道 \(R_{HH}\) (信道统计)
  • 需要知道 \(\sigma^2\) (噪声方差)
  • 矩阵求逆复杂度高 \(O(N^3)\)

简化方法 1：离线计算

\[R_{HH} (R_{HH} + \sigma^2 I)^{-1} \approx \text{常数矩阵}\]

简化方法 2：DFT 近似

利用信道相关矩阵的循环结构： \(\(R_{HH} \approx F^H \Lambda F\)\)

其中 \(F\) 是 DFT 矩阵，\(\Lambda\) 是对角矩阵

求逆简化： \(\((R_{HH} + \sigma^2 I)^{-1} \approx F^H (\Lambda + \sigma^2 I)^{-1} F\)\)

复杂度从 \(O(N^3)\) 降到 \(O(N \log N)\)！

9.4 插值算法的数学原理

问题

只在导频位置有估计 \(\hat{H}_p\)，需要得到所有子载波的估计 \(\hat{H}\)

线性插值

公式： \(\(\hat{H}[k] = \hat{H}[k_1] + \frac{k-k_1}{k_2-k_1}(\hat{H}[k_2] - \hat{H}[k_1])\)\)

等权重： \(w_1 = \frac{k_2-k}{k_2-k_1}\), \(w_2 = \frac{k-k_1}{k_2-k_1}\)

最优插值 (Wiener 滤波)

目标： \(\(\hat{H}[k] = \sum_{m} w_m \hat{H}_p[m]\)\)

最优权重： \(\(\mathbf{w}_{opt} = R_{pp}^{-1} \mathbf{r}_{pH}\)\)

其中： - \(R_{pp}\)：导频位置的自相关矩阵 - \(\mathbf{r}_{pH}\)：导频位置与目标位置的互相关向量

第 10 章 均衡算法

10.1 ZF 均衡的数学分析

模型

\[Y = H X + N\]

ZF 均衡

\[\hat{X}_{ZF} = H^{-1} Y = X + H^{-1} N\]

问题：噪声增强

输出噪声功率： \(\(E[|H^{-1} N|^2] = |H^{-1}|^2 \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{|H|^2}\)\)

当 \(|H|\) 很小时，噪声被严重放大！

输出 SNR

\[\text{SNR}_{ZF} = \frac{|X|^2}{\sigma^2/|H|^2} = \frac{|H|^2 |X|^2}{\sigma^2}\]

10.2 MMSE 均衡最优性证明 ⭐⭐⭐

问题

\[\hat{X}_{MMSE} = \arg\min_{W} E[|X - W Y|^2]\]

推导

代价函数： \(\(\begin{aligned} J(W) &= E[|X - W(HX+N)|^2] \\ &= E[|(1-WH)X - WN|^2] \\ &= |1-WH|^2 E[|X|^2] + |W|^2 \sigma^2 \end{aligned}\)\)

令 \(P_x = E[|X|^2]\)： \(\(J(W) = |1-WH|^2 P_x + |W|^2 \sigma^2\)\)

对 W 求导： \(\(\frac{\partial J}{\partial W^*} = -(1-WH)H^* P_x + W \sigma^2 = 0\)\)

解得： \(\(W_{opt} (|H|^2 P_x + \sigma^2) = H^* P_x\)\)

\[\boxed{W_{MMSE} = \frac{H^* P_x}{|H|^2 P_x + \sigma^2} = \frac{H^*}{|H|^2 + \sigma^2/P_x}}\]

与 ZF 的比较

SNR MMSE 行为
高 SNR (\(\sigma^2 \to 0\)) \(W \to H^{-1}\) (趋近 ZF)
低 SNR (\(\sigma^2\) 大) \(W \to 0\) (抑制噪声)

10.3 MIMO 检测算法

系统模型

\[\mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} + \mathbf{n}\]

其中： - \(\mathbf{y} \in \mathbb{C}^{N_r}\)：接收向量 - \(\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{N_t}\)：发射向量 - \(\mathbf{H} \in \mathbb{C}^{N_r \times N_t}\)：信道矩阵

ZF 检测

\[\hat{\mathbf{x}}_{ZF} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{y}\]

MMSE 检测

\[\hat{\mathbf{x}}_{MMSE} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H} + \sigma^2 \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{y}\]

最大似然检测 (最优但复杂)

\[\hat{\mathbf{x}}_{ML} = \arg\min_{\mathbf{x} \in \mathcal{S}^{N_t}} \|\mathbf{y} - \mathbf{H}\mathbf{x}\|^2\]

复杂度： \(O(|\mathcal{S}|^{N_t})\) - 指数增长！

第 11 章 解调与软信息

11.1 最大似然检测

硬判决

\[\hat{x} = \arg\min_{x_i \in \mathcal{S}} |y - h x_i|^2\]

几何解释

找到星座图中距离接收点最近的星座点

11.2 LLR 计算的数学推导 ⭐⭐⭐

定义

对于比特 \(b_k\)： \(\(LLR(b_k) = \log \frac{P(b_k=0 | y)}{P(b_k=1 | y)}\)\)

应用贝叶斯公式

\[LLR(b_k) = \log \frac{P(y | b_k=0) P(b_k=0)}{P(y | b_k=1) P(b_k=1)}\]

等概发送假设

\[LLR(b_k) = \log \frac{P(y | b_k=0)}{P(y | b_k=1)}\]

高斯信道

似然： \(\(P(y | x_i) = \frac{1}{\pi\sigma^2} \exp\left(-\frac{|y-hx_i|^2}{\sigma^2}\right)\)\)

LLR： \(\(\begin{aligned} LLR(b_k) &= \log \frac{\sum_{x_i: b_k=0} P(y|x_i)}{\sum_{x_j: b_k=1} P(y|x_j)} \\ &= \log \frac{\sum_{x_i: b_k=0} e^{-\frac{|y-hx_i|^2}{\sigma^2}}}{\sum_{x_j: b_k=1} e^{-\frac{|y-hx_j|^2}{\sigma^2}}} \end{aligned}\)\)

Max-Log 近似

\[LLR(b_k) \approx \frac{1}{\sigma^2} \left[ \min_{x_j: b_k=1} |y-hx_j|^2 - \min_{x_i: b_k=0} |y-hx_i|^2 \right]\]

11.3 QPSK 的 LLR 计算

星座

\[\mathcal{S} = \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(1+j), \frac{1}{\sqrt{2}}(1-j), \frac{1}{\sqrt{2}}(-1+j), \frac{1}{\sqrt{2}}(-1-j)\right\}\]

比特映射

符号 \(b_0\) \(b_1\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+j)\) 0 0
\(\frac{1}{\sqrt{2}}(1-j)\) 0 1
\(\frac{1}{\sqrt{2}}(-1+j)\) 1 0
\(\frac{1}{\sqrt{2}}(-1-j)\) 1 1

LLR 公式

令 \(y = y_I + j y_Q\)，\(h = |h|e^{j\theta}\)，补偿后 \(\tilde{y} = y/h\)

\[LLR(b_0) \approx \frac{2|h|}{\sigma^2} \tilde{y}_I$$ $$LLR(b_1) \approx \frac{2|h|}{\sigma^2} \tilde{y}_Q\]

11.4 16QAM 的 LLR 计算

星座

\[\mathcal{S} = \left\{\frac{1}{\sqrt{10}}(\pm 1 \pm j), \frac{1}{\sqrt{10}}(\pm 1 \pm 3j), \frac{1}{\sqrt{10}}(\pm 3 \pm j), \frac{1}{\sqrt{10}}(\pm 3 \pm 3j)\right\}\]

格雷编码 LLR (近似)

令 \(\tilde{y}_I = \text{Re}\{y/h\}\)：

\[LLR(b_0) \approx \frac{2|h|}{\sigma^2} \cdot \begin{cases} \tilde{y}_I - 2/\sqrt{10} & \tilde{y}_I > 2/\sqrt{10} \\ \tilde{y}_I & |\tilde{y}_I| \leq 2/\sqrt{10} \\ \tilde{y}_I + 2/\sqrt{10} & \tilde{y}_I < -2/\sqrt{10} \end{cases}\]

第 12 章 信道解码

12.1 最大后验概率解码

问题

给定接收序列 \(\mathbf{y}\)，求最可能的发送序列 \(\mathbf{u}\)

\[\hat{\mathbf{u}} = \arg\max_{\mathbf{u}} P(\mathbf{u} | \mathbf{y})\]

序列检测

\[\hat{\mathbf{u}} = \arg\max_{\mathbf{u}} P(\mathbf{y} | \mathbf{u}) P(\mathbf{u})\]

12.2 BCJR 算法推导 ⭐⭐⭐

目标

计算每个比特的后验概率： \(\(P(u_k = b | \mathbf{y}) = \frac{P(u_k = b, \mathbf{y})}{P(\mathbf{y})}\)\)

前向 - 后向分解

定义状态： \(S_k\) 是编码器在时刻 \(k\) 的状态

前向概率： \(\(\alpha_k(s) = P(S_k = s, \mathbf{y}_{1:k})\)\)

后向概率： \(\(\beta_k(s) = P(\mathbf{y}_{k+1:N} | S_k = s)\)\)

转移概率： \(\(\gamma_k(s', s) = P(S_k = s, y_k | S_{k-1} = s')\)\)

BCJR 公式

\[P(u_k = b, \mathbf{y}) = \sum_{(s',s): u_k=b} \alpha_{k-1}(s') \gamma_k(s', s) \beta_k(s)\]

递归计算

前向递归： \(\(\alpha_k(s) = \sum_{s'} \alpha_{k-1}(s') \gamma_k(s', s)\)\)

后向递归： \(\(\beta_{k-1}(s') = \sum_s \gamma_k(s', s) \beta_k(s)\)\)

12.3 置信传播算法 (LDPC)

Tanner 图

  • 变量节点 (Variable Nodes)：对应编码比特
  • 校验节点 (Check Nodes)：对应校验方程

消息传递

变量节点 → 校验节点： \(\(Q_{ij} = L_{ch} + \sum_{k \in N(i) \setminus j} R_{ki}\)\)

校验节点 → 变量节点： \(\(R_{ij} = 2 \tanh^{-1}\left( \prod_{k \in M(j) \setminus i} \tanh\left(\frac{Q_{kj}}{2}\right) \right)\)\)

Min-Sum 近似

\[R_{ij} \approx \left(\prod_{k} \text{sign}(Q_{kj})\right) \cdot \min_{k} |Q_{kj}|\]

12.4 收敛性分析

密度演化

跟踪 LLR 分布的演化

停止准则

  1. 校验子为零：\(\mathbf{H}\hat{\mathbf{x}} = \mathbf{0}\)
  2. 达到最大迭代次数

典型迭代次数

码型 迭代次数
Turbo 6-8
LDPC 10-50
Polar (SCL) 1 (但列表大小 L=8-32)

📚 总结：关键数学工具速查表

概念 公式 应用场景
期望 \(E[X] = \int x f(x) dx\) 信号功率、噪声分析
方差 \(\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2\) 噪声功率、MSE
协方差 \(\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]\) 信道相关矩阵
贝叶斯 $P(A B) = \frac{P(B
MMSE $\hat{X} = E[X Y]$
MLE $\hat{\theta} = \arg\max p(y \theta)$
LS \(\hat{\theta} = (H^H H)^{-1} H^H y\) 初始信道估计
相关矩阵 \(R_{hh} = E[\mathbf{h}\mathbf{h}^H]\) LMMSE、MIMO
矩阵求逆 \((A+UCV)^{-1}\) 引理 降低 LMMSE 复杂度
LLR $\log\frac{P(b=0 y)}{P(b=1

📖 附录：常用符号表

符号 含义 单位
\(E[\cdot]\) 数学期望 -
\(\text{Var}(\cdot)\) 方差 -
\(\text{Cov}(\cdot,\cdot)\) 协方差 -
\(R_{xx}\) 自相关矩阵 -
\(H\) 信道响应 -
\(\sigma^2\) 噪声方差 功率
\(N_0\) 噪声功率谱密度 W/Hz
SNR 信噪比 dB
\(Q(\cdot)\) Q 函数 -
\(\mathcal{CN}(\mu,\sigma^2)\) 复高斯分布 -
\((\cdot)^H\) 共轭转置 -
\(\otimes\) 克罗内克积 -
\(\delta(\cdot)\) 狄拉克δ函数 -

文档结束

参考资料： 1. Proakis, J. G. "Digital Communications" 2. Tse, D. & Viswanath, P. "Fundamentals of Wireless Communication" 3. 3GPP TS 36.211 (LTE Physical Channels) 4. 3GPP TS 38.211 (NR Physical Channels)

最后更新：2026-03-18