第 1 章 概率论基础¶

本章预计学习时间： 4 小时
前置知识： 高中数学（函数、方程）
后续依赖： 第 2 章（随机过程）、第 4 章（估计理论）、第 5 章（检测理论）

📌 本章目标¶

学完本章后，你将能够：

1. 理解 随机变量、概率分布的本质含义
2. 计算 期望、方差、协方差
3. 应用 贝叶斯公式解决通信问题
4. 解释 高斯分布、瑞利分布在通信中的物理意义

1.1 什么是随机变量？¶

🎯 基础概念（零基础友好）¶

生活中的随机现象¶

想象你在等公交车： - 确定性现象： 公交车每 10 分钟一班（理论上） - 随机现象： 实际等车时间可能是 5 分钟、12 分钟、8 分钟...

问题： 如何数学化描述"等车时间"这个随机现象？

答案： 用**随机变量**！

随机变量的直观理解¶

定义（通俗版）：

随机变量是一个"机器"，每次运行时输出一个数，输出什么数事先不确定，但每个数出现的可能性（概率）是确定的。

例子 1-1：掷骰子

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随机变量 X = "掷骰子的点数"

可能的输出：1, 2, 3, 4, 5, 6
每个输出的概率：1/6

例子 1-2：等公交车

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随机变量 T = "等车时间（分钟）"

可能的输出：0 到 20 之间的任意实数
概率分布：大部分在 8-12 分钟，极少数<5 或>15 分钟

数学定义¶

定义 1-1（随机变量）：

随机变量 \(X\) 是从**样本空间** \(\Omega\) 到**实数** \(\mathbb{R}\) 的映射：

详细解释：

关键理解： - 随机变量本身不是"变量"，而是一个**函数** - 它的输入是随机实验的结果 - 它的输出是一个实数

📊 概率分布¶

问题：如何描述随机变量的统计特性？¶

知道了 \(X\) 是随机变量还不够，我们需要知道： - \(X\) 可能取哪些值？ - 每个值出现的可能性多大？

答案： 用**概率分布**描述！

离散随机变量的概率质量函数 (PMF)¶

定义 1-2（PMF）：

对于离散随机变量 \(X\)，其概率质量函数为：

性质： 1. \(0 \leq P_X(x) \leq 1\)（概率在 0 到 1 之间） 2. \(\sum_{x} P_X(x) = 1\)（所有可能性的概率和为 1）

例子 1-3：掷骰子的 PMF

验证性质 2： \(\(\sum_{x=1}^{6} P_X(x) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1 \quad \checkmark\)\)

连续随机变量的概率密度函数 (PDF)¶

关键区别： - 离散随机变量：取有限个或可数个值（如骰子点数） - 连续随机变量：可以取某个区间内的任意值（如等车时间）

问题： 对于连续随机变量，\(P(X = x)\) 是多少？

答案： 是 0！因为连续变量取某个**精确值**的概率是 0。

例子 1-4：

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问：等车时间恰好是 10.000000...分钟的概率是多少？
答：0！因为可能是 10.000001 或 9.999999...

解决方案： 用**概率密度函数 (PDF)** 描述

定义 1-3（PDF）：

连续随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(f_X(x)\) 满足：

物理解释： - \(f_X(x)\) 本身不是概率！ - \(f_X(x) dx\) 是 \(X\) 落在区间 \([x, x+dx]\) 的概率 - PDF 曲线下的**面积**才是概率

性质： 1. \(f_X(x) \geq 0\)（密度非负） 2. \(\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1\)（总面积为 1）

📡 通信中的关键分布¶

在 4G/5G 中，以下分布极其重要：

1. 高斯分布（正态分布）⭐⭐⭐¶

PDF： \(\(f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)\)

参数： - \(\mu\)：均值（分布的中心位置） - \(\sigma^2\)：方差（分布的分散程度） - \(\sigma\)：标准差

记号： \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)

图形特征： 钟形曲线，关于 \(x=\mu\) 对称

通信应用： - **热噪声**服从高斯分布 - 多个独立随机变量之和趋近高斯分布（中心极限定理）

例子 1-5：噪声电压

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假设热噪声电压 V ~ N(0, 0.01)（单位：伏特）

参数：
- μ = 0V（平均电压为 0）
- σ² = 0.01，所以 σ = 0.1V

问：噪声电压在 -0.1V 到 +0.1V 之间的概率？
答：约 68%（高斯分布的性质：±1σ范围内概率为 68%）

2. 复高斯分布 ⭐⭐⭐¶

为什么需要复高斯？

在通信中，信号用**复数**表示（同相分量 I + 正交分量 Q）：

定义 1-4（复高斯随机变量）：

复随机变量 \(Z = X + jY\) 服从复高斯分布，如果： - \(X\) 和 \(Y\) 是独立的实高斯随机变量 - \(X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma^2/2)\) - \(Y \sim \mathcal{N}(\mu_Y, \sigma^2/2)\)

PDF： \(\(f_Z(z) = \frac{1}{\pi\sigma^2} e^{-\frac{|z-\mu|^2}{\sigma^2}}\)\)

记号： \(Z \sim \mathcal{CN}(\mu, \sigma^2)\)

关键性质： - \(E[Z] = \mu\) - \(\text{Var}(Z) = E[|Z-\mu|^2] = \sigma^2\) - \(|Z|^2\) 服从指数分布（当 \(\mu=0\) 时）

通信应用： - **复基带噪声**服从复高斯分布 - **衰落信道**的复增益常用复高斯建模

3. 瑞利分布¶

场景： 当复高斯随机变量的均值为 0 时，其**幅度**服从瑞利分布

推导：

令 \(Z = X + jY \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)，其中 \(X, Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2/2)\)

幅度 \(R = |Z| = \sqrt{X^2 + Y^2}\)

R 的 PDF（瑞利分布）： \(\(f_R(r) = \frac{r}{\sigma^2} e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}, \quad r \geq 0\)\)

通信应用： - 无直射路径 (NLOS) 时的信道幅度 - 城市环境中，手机接收到的信号幅度

直观理解：

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多径传播 → 多个反射波叠加 → 复信道增益 Z
Z 是复高斯 → 幅度 |Z| 是瑞利分布

物理意义：大部分时间信号幅度较小，偶尔出现较大值

4. 莱斯分布¶

场景： 当存在直射路径 (LOS) 时，信道幅度服从莱斯分布

PDF： \(\(f_R(r) = \frac{r}{\sigma^2} e^{-\frac{r^2+A^2}{2\sigma^2}} I_0\left(\frac{rA}{\sigma^2}\right), \quad r \geq 0\)\)

参数： - \(A\)：直射路径的幅度 - \(\sigma^2\)：多径分量的功率 - \(I_0(\cdot)\)：修正贝塞尔函数（不用深究，知道是特殊函数即可）

与瑞利的关系： - 当 \(A = 0\)（无直射）时，莱斯分布退化为瑞利分布 - 当 \(A\) 很大时，分布趋近高斯分布

📝 数值例子¶

例子 1-6：比较不同分布

假设接收信号模型：\(y = h x + n\)

场景 1：AWGN 信道（只有噪声）

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h = 1（确定值）
n ~ CN(0, 0.1)

y 的分布：CN(x, 0.1)（复高斯）

场景 2：瑞利衰落信道

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h ~ CN(0, 1)（瑞利衰落）
n ~ CN(0, 0.1)
x = 1（发送信号）

y = h + n

y 的分布：CN(0, 1.1)（仍是复高斯，但方差更大）

场景 3：莱斯衰落信道

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h ~ CN(2, 1)（有直射分量，均值为 2）
n ~ CN(0, 0.1)
x = 1

y = 2h + n

y 的分布：CN(2, 1.1)（复高斯，均值非零）

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "概率密度 \(f_X(x)\) 是 \(X=x\) 的概率"

纠正： 对于连续随机变量，\(P(X=x) = 0\)！PDF 的值可以大于 1，它不是概率。

验证： 均匀分布 \(U[0, 0.5]\) 的 PDF 是 \(f(x) = 2\)（在区间内），但概率不可能大于 1。

正确理解： \(f_X(x) dx\) 是概率，\(f_X(x)\) 是"概率密度"。

误区 2： "高斯分布可以描述所有随机现象"

纠正： 高斯分布适用条件是： - 大量独立随机因素叠加 - 没有主导因素

反例： - 信道幅度（瑞利或莱斯分布） - 突发噪声（脉冲分布） - 量化误差（均匀分布）

✏️ 练习题¶

基础题 1-1：

掷一个公平骰子，定义随机变量 \(X\) 为点数。

1. 写出 \(X\) 的 PMF
2. 计算 \(P(X \geq 4)\)
3. 计算 \(P(X \text{是偶数})\)

答案：

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1. P_X(x) = 1/6, x = 1,2,3,4,5,6

2. P(X ≥ 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

3. P(X 是偶数) = P(X=2) + P(X=4) + P(X=6) = 3/6 = 1/2

基础题 1-2：

噪声 \(n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\)，其中 \(\sigma = 0.1\)。

1. 写出 \(n\) 的 PDF
2. \(n\) 落在 \([-0.1, 0.1]\) 的概率约为多少？（提示：用高斯分布的性质）

答案：

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1. f_n(x) = (1/(√(2π)·0.1)) · exp(-x²/(2·0.01))

2. [-0.1, 0.1] = [-σ, +σ]
   高斯分布性质：±1σ范围内概率 ≈ 68%
   所以答案约为 0.68

进阶题 1-3：

接收信号 \(y = h + n\)，其中： - \(h \sim \mathcal{CN}(0, 1)\)（瑞利衰落信道） - \(n \sim \mathcal{CN}(0, 0.1)\)（噪声） - \(h\) 和 \(n\) 独立

1. \(y\) 服从什么分布？
2. \(|y|\) 服从什么分布？
3. 计算 \(E[|y|^2]\)

提示：

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1. 独立复高斯变量之和仍是复高斯
2. 复高斯的幅度是瑞利分布
3. 用期望的线性性质

答案：

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1. y ~ CN(0, 1.1)（均值相加，方差相加）

2. |y| 服从瑞利分布，参数 σ² = 1.1

3. E[|y|²] = Var(y) + |E[y]|² = 1.1 + 0 = 1.1

1.2 数学期望 ⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

什么是期望？¶

直观理解：

期望是随机变量的"平均值"或"重心"。

例子 1-7：班级平均身高

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班级有 30 个学生：
- 10 个人身高 160cm
- 15 个人身高 170cm
- 5 个人身高 180cm

平均身高 = (10×160 + 15×170 + 5×180) / 30 = 168.3cm

如果用概率描述：
P(160) = 10/30 = 1/3
P(170) = 15/30 = 1/2
P(180) = 5/30 = 1/6

期望身高 E[H] = 160×(1/3) + 170×(1/2) + 180×(1/6) = 168.3cm

关键理解： 期望是**加权平均**，权重是概率。

📐 数学定义¶

定义 1-5（数学期望）：

离散随机变量： \(\(E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\)\)

连续随机变量： \(\(E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) dx\)\)

其他记号： \(E[X]\) 也记作 \(\mu_X\) 或 \(\bar{X}\)

🔧 期望的核心性质¶

性质 1：线性性 ⭐⭐⭐（最重要！）¶

其中 \(a, b\) 是常数。

详细推导（离散情况）：

关键理解： - 期望运算可以"穿过"加法和数乘 - 不需要 \(X\) 和 \(Y\) 独立！ - 这是期望最重要的性质，后续推导大量使用

例子 1-8：接收信号期望

接收信号模型：\(y = hx + n\)

其中： - \(x\) 是发送信号（确定值，如 \(x=1\)） - \(h\) 是信道增益（随机变量，\(E[h]=0\)） - \(n\) 是噪声（随机变量，\(E[n]=0\)）

计算 \(E[y]\)：

物理解释： 虽然瞬时接收信号 \(y\) 随机波动，但长期平均为 0。

性质 2：独立性¶

若 \(X\) 和 \(Y\) 独立，则： \(\(E[XY] = E[X]E[Y]\)\)

注意： 这个性质**仅在独立时成立**！

反例： \(X\) 是掷骰子结果，\(Y = X^2\)

显然 \(X\) 和 \(Y\) 不独立（\(Y\) 完全由 \(X\) 决定）。

性质 3：函数的期望（LOTUS 定理）¶

若 \(Y = g(X)\)，则： \(\(E[Y] = E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x) dx\)\)

关键理解： 不需要先求 \(Y\) 的分布，直接用 \(X\) 的分布计算！

例子 1-9：信号功率

接收信号 \(y\)，其功率定义为 \(P = |y|^2\)。

若 \(y \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)，求 \(E[P]\)。

解法 1（直接用定义）： \(\(E[P] = E[|y|^2] = \text{Var}(y) + |E[y]|^2 = \sigma^2 + 0 = \sigma^2\)\)

解法 2（用 LOTUS）： \(\(E[|y|^2] = \int_{-\infty}^{\infty} |y|^2 \cdot \frac{1}{\pi\sigma^2} e^{-\frac{|y|^2}{\sigma^2}} dy = \sigma^2\)\)

性质 4：全期望公式¶

解释： 先对 \(Y\) 的每个取值计算条件期望 \(E[X|Y=y]\)，再对 \(Y\) 求期望。

例子 1-10：两阶段实验

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阶段 1：掷硬币决定用哪个骰子
- 正面：用公平骰子（期望 3.5）
- 反面：用 biased 骰子（期望 4.5）

阶段 2：掷选中的骰子

问：最终点数的期望？

解：
令 Y = 硬币结果（正面/反面）
令 X = 骰子点数

E[X|正面] = 3.5
E[X|反面] = 4.5

E[X] = E[E[X|Y]] = 3.5 × P(正面) + 4.5 × P(反面) = 3.5 × 0.5 + 4.5 × 0.5 = 4

📡 通信中的应用¶

应用 1：接收信号模型¶

模型： \(\(y = hx + n\)\)

其中： - \(x\)：发送符号（如 QPSK 星座点） - \(h\)：信道增益（随机变量） - \(n\)：加性噪声，\(n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)

计算接收信号的期望：

情况 1：已知信道 \(h\)（确定值） \(\(E[y] = hx\)\)

情况 2：瑞利衰落 \(h \sim \mathcal{CN}(0, 1)\) \(\(E[y] = x \cdot 0 = 0\)\)

物理意义： 在瑞利衰落信道中，接收信号的长期平均为 0（相位随机）。

应用 2：噪声功率¶

定义： 噪声功率 = \(E[|n|^2]\)

对于 \(n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)：

关键公式： \(\(\boxed{\text{噪声功率} = \sigma^2}\)\)

应用 3：信噪比 (SNR)¶

定义： \(\(\text{SNR} = \frac{\text{信号功率}}{\text{噪声功率}} = \frac{E[|hx|^2]}{E[|n|^2]}\)\)

假设： - \(x\) 是单位功率符号，\(E[|x|^2] = 1\) - \(h\) 是确定值（或已知） - \(n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)

计算： \(\(\text{SNR} = \frac{|h|^2 E[|x|^2]}{\sigma^2} = \frac{|h|^2}{\sigma^2}\)\)

分贝表示： \(\(\text{SNR}_{\text{dB}} = 10 \log_{10}\left(\frac{|h|^2}{\sigma^2}\right)\)\)

例子 1-11：SNR 计算

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假设：
- |h| = 0.5（信道增益）
- σ² = 0.01（噪声方差）

SNR = |h|²/σ² = 0.25/0.01 = 25（线性）
SNR_dB = 10 log₁₀(25) ≈ 14 dB

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "\(E[X^2] = (E[X])^2\)"

纠正： 一般不相等！

反例： \(X \sim \mathcal{N}(0, 1)\)

正确关系： \(\(E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2\)\)

误区 2： "期望就是最可能的值"

纠正： 期望是平均值，不是众数（最可能值）。

反例： 某随机变量 \(X\)： - \(P(X=0) = 0.9\) - \(P(X=100) = 0.1\)

但 \(X=100\) 的概率只有 10%，最可能的值是 0。

✏️ 练习题¶

基础题 1-4：

随机变量 \(X\) 的分布如下： - \(P(X=1) = 0.2\) - \(P(X=2) = 0.5\) - \(P(X=3) = 0.3\)

1. 计算 \(E[X]\)
2. 计算 \(E[2X + 1]\)
3. 计算 \(E[X^2]\)

答案：

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1. E[X] = 1×0.2 + 2×0.5 + 3×0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1

2. E[2X+1] = 2E[X] + 1 = 2×2.1 + 1 = 5.2
   （或：E[2X+1] = 3×0.2 + 5×0.5 + 7×0.3 = 0.6+2.5+2.1 = 5.2）✓

3. E[X²] = 1²×0.2 + 2²×0.5 + 3²×0.3 = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9

进阶题 1-5：

接收信号 \(y = hx + n\)，其中： - \(x = 1 + j\)（QPSK 符号） - \(h \sim \mathcal{CN}(0, 1)\) - \(n \sim \mathcal{CN}(0, 0.1)\) - \(h\) 和 \(n\) 独立

1. 计算 \(E[y]\)
2. 计算 \(E[|y|^2]\)（提示：用 \(E[|y|^2] = \text{Var}(y) + |E[y]|^2\)）

答案：

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1. E[y] = E[hx + n] = xE[h] + E[n] = (1+j)×0 + 0 = 0

2. 先求 Var(y)：
   Var(y) = Var(hx + n)
          = Var(hx) + Var(n)  （h 和 n 独立）
          = |x|²Var(h) + σ²
          = |1+j|² × 1 + 0.1
          = 2 × 1 + 0.1 = 2.1

   E[|y|²] = Var(y) + |E[y]|² = 2.1 + 0 = 2.1

1.3 方差与协方差 ⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

为什么要引入方差？¶

问题： 两个随机变量可能有相同的期望，但分布完全不同。

例子 1-12：两个班级的成绩

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班级 A：所有学生都是 80 分
班级 B：一半学生 60 分，一半学生 100 分

两个班级的平均分都是 80 分，但：
- 班级 A：成绩稳定
- 班级 B：成绩波动大

如何量化"波动程度"？

答案： 用**方差**！

📐 方差定义¶

定义 1-6（方差）：

解释： 方差是"与期望的偏差的平方的期望"。

其他记号： \(\text{Var}(X)\) 也记作 \(\sigma_X^2\) 或 \(D(X)\)

标准差： \(\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}\)

方差的计算公式 ⭐¶

重要公式： \(\(\boxed{\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2}\)\)

推导：

记忆技巧： "平方的期望 减去 期望的平方"

方差的性质¶

性质 1：常数的方差为 0 \(\(\text{Var}(c) = 0\)\)

性质 2：常数倍的方差 \(\(\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)\)\)

推导： \(\(\begin{aligned} \text{Var}(aX) &= E[(aX)^2] - (E[aX])^2 \\ &= a^2 E[X^2] - (aE[X])^2 \\ &= a^2 E[X^2] - a^2 (E[X])^2 \\ &= a^2 (E[X^2] - (E[X])^2) \\ &= a^2 \text{Var}(X) \quad \checkmark \end{aligned}\)\)

性质 3：平移不改变方差 \(\(\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)\)\)

直观理解： 整体平移不改变波动程度。

性质 4：独立变量的和的方差

若 \(X\) 和 \(Y\) 独立： \(\(\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)\)\)

注意： 仅当独立时成立！

📊 协方差¶

问题：如何衡量两个随机变量的相关性？¶

例子 1-13：

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变量 X：每天的温度
变量 Y：每天的冰淇淋销量

直观上，X 和 Y 正相关（温度越高，销量越大）

如何数学化描述这种"相关性"？

答案： 用**协方差**！

定义 1-7（协方差）：

展开式： \(\(\boxed{\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]}\)\)

推导： \(\(\begin{aligned} \text{Cov}(X, Y) &= E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \\ &= E[XY - X E[Y] - E[X] Y + E[X]E[Y]] \\ &= E[XY] - E[X]E[Y] - E[X]E[Y] + E[X]E[Y] \\ &= E[XY] - E[X]E[Y] \quad \checkmark \end{aligned}\)\)

协方差的解释¶

关键理解： - 协方差衡量**线性相关**程度 - Cov = 0 不一定独立（可能有非线性关系） - 独立一定 Cov = 0

相关系数¶

问题： 协方差的大小依赖于 \(X\) 和 \(Y\) 的量纲，如何标准化？

答案： 用**相关系数**！

定义 1-8（相关系数）：

性质： \(\(-1 \leq \rho_{XY} \leq 1\)\)

解释： - \(\rho = 1\)：完全正线性相关 - \(\rho = -1\)：完全负线性相关 - \(\rho = 0\)：无线性相关

📡 在信道估计中的关键应用 ⭐⭐⭐¶

信道向量与自相关矩阵¶

场景： OFDM 系统有 \(N\) 个子载波，每个子载波的信道增益为 \(h_k\)。

信道向量： \(\(\mathbf{h} = [h_0, h_1, ..., h_{N-1}]^T \in \mathbb{C}^N\)\)

问题： 如何描述不同子载波信道之间的相关性？

答案： 用**自相关矩阵**！

定义 1-9（自相关矩阵）：

维度： \(N \times N\) 矩阵

展开： \(\(R_{hh} = \begin{bmatrix} E[h_0 h_0^*] & E[h_0 h_1^*] & \cdots & E[h_0 h_{N-1}^*] \\ E[h_1 h_0^*] & E[h_1 h_1^*] & \cdots & E[h_1 h_{N-1}^*] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ E[h_{N-1} h_0^*] & E[h_{N-1} h_1^*] & \cdots & E[h_{N-1} h_{N-1}^*] \end{bmatrix}\)\)

元素含义： \(\([R_{hh}]_{ij} = E[h_i h_j^*]\)\)

关键推导：当信道零均值时¶

假设： \(E[h_k] = 0\) 对所有 \(k\)（瑞利衰落的典型假设）

协方差定义： \(\(\text{Cov}(h_i, h_j) = E[h_i h_j^*] - E[h_i]E[h_j^*]\)\)

代入 \(E[h] = 0\)： \(\(\text{Cov}(h_i, h_j) = E[h_i h_j^*] - 0 = E[h_i h_j^*]\)\)

结论： \(\(\boxed{[R_{hh}]_{ij} = \text{Cov}(h_i, h_j) \quad \text{（当 E[h]=0 时）}}\)\)

物理意义： 自相关矩阵的元素就是信道系数之间的协方差！

对角元素 vs 非对角元素¶

对角元素 (\(i=j\))： \(\([R_{hh}]_{ii} = E[|h_i|^2] = \text{Var}(h_i) + |E[h_i]|^2 = \sigma_h^2\)\)

解释： 对角元素是每个子载波信道的**平均功率**。

非对角元素 (\(i \neq j\))： \(\([R_{hh}]_{ij} = E[h_i h_j^*] = \text{Cov}(h_i, h_j)\)\)

解释： 非对角元素描述不同子载波信道之间的**相关性**。

典型模型：指数相关¶

假设： 相邻子载波的信道相关性最强，随着频率间隔增大，相关性指数衰减。

模型： \(\([R_{hh}]_{ij} = \sigma_h^2 \rho^{|i-j|}\)\)

其中： - \(\sigma_h^2\)：信道功率 - \(\rho\)：相关系数 (\(0 \leq \rho \leq 1\)) - \(|i-j|\)：子载波间隔

矩阵形式： \(\(R_{hh} = \sigma_h^2 \begin{bmatrix} 1 & \rho & \rho^2 & \rho^3 & \cdots \\ \rho^* & 1 & \rho & \rho^2 & \cdots \\ \rho^{*2} & \rho^* & 1 & \rho & \cdots \\ \rho^{*3} & \rho^{*2} & \rho^* & 1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}\)\)

特殊结构： Toeplitz 矩阵（每条对角线上的元素相同）

📝 数值例子¶

例子 1-14：2 子载波系统

假设 \(N=2\) 个子载波，\(\sigma_h^2 = 1\)，\(\rho = 0.5\)。

自相关矩阵： \(\(R_{hh} = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \end{bmatrix}\)\)

解释： - 对角元素 = 1：每个子载波的信道功率为 1 - 非对角元素 = 0.5：两个子载波的信道中度正相关

若 \(\rho = 0\)（完全不相关）： \(\(R_{hh} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \quad \text{（单位矩阵）}\)\)

若 \(\rho = 1\)（完全相关）： \(\(R_{hh} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)\)

此时矩阵奇异（行列式为 0），两个子载波的信道完全相同。

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "方差可以是负数"

纠正： 方差是平方的期望，永远非负！

若计算得到负方差，一定是计算错误。

误区 2： "Cov(X,Y) = 0 意味着 X 和 Y 独立"

纠正： 恰恰相反！独立 ⇒ Cov=0，但 Cov=0 ⇏ 独立。

反例： \(X \sim \mathcal{N}(0, 1)\)，\(Y = X^2\)

（因为标准正态分布的奇数阶矩为 0）

但显然 \(Y\) 完全由 \(X\) 决定，不独立！

正确理解： Cov=0 只说明没有**线性**相关性，可能有非线性关系。

误区 3： "相关系数 ρ=0 意味着两个变量无关"

纠正： ρ=0 只说明没有线性相关性。

例子： \(Y = X^2\)，\(X \sim U[-1, 1]\)

但 \(Y\) 完全由 \(X\) 决定！

✏️ 练习题¶

基础题 1-6：

随机变量 \(X\) 的分布如下： - \(P(X=0) = 0.5\) - \(P(X=1) = 0.3\) - \(P(X=2) = 0.2\)

1. 计算 \(E[X]\)
2. 计算 \(E[X^2]\)
3. 计算 \(\text{Var}(X)\)
4. 计算标准差 \(\sigma_X\)

答案：

1
2
3
4
5
6
7

1. E[X] = 0×0.5 + 1×0.3 + 2×0.2 = 0 + 0.3 + 0.4 = 0.7

2. E[X²] = 0²×0.5 + 1²×0.3 + 2²×0.2 = 0 + 0.3 + 0.8 = 1.1

3. Var(X) = E[X²] - (E[X])² = 1.1 - 0.7² = 1.1 - 0.49 = 0.61

4. σ_X = √0.61 ≈ 0.78

基础题 1-7：

已知 \(\text{Var}(X) = 4\)，计算： 1. \(\text{Var}(3X)\) 2. \(\text{Var}(3X + 5)\) 3. \(\text{Var}(-2X + 1)\)

答案：

1
2
3
4
5

1. Var(3X) = 3² × Var(X) = 9 × 4 = 36

2. Var(3X+5) = Var(3X) = 36（平移不改变方差）

3. Var(-2X+1) = (-2)² × Var(X) = 4 × 4 = 16

进阶题 1-8：

接收信号 \(y = h + n\)，其中： - \(h \sim \mathcal{CN}(0, 1)\)（信道） - \(n \sim \mathcal{CN}(0, 0.1)\)（噪声） - \(h\) 和 \(n\) 独立

1. 计算 \(\text{Var}(y)\)
2. 计算 \(y\) 的自相关 \(E[|y|^2]\)
3. 若定义信噪比 \(\text{SNR} = \frac{\text{信号功率}}{\text{噪声功率}}\)，计算 SNR

答案：

1
2
3
4
5
6
7

1. Var(y) = Var(h + n) = Var(h) + Var(n) = 1 + 0.1 = 1.1

2. E[|y|²] = Var(y) + |E[y]|² = 1.1 + 0 = 1.1

3. 信号功率 = E[|h|²] = 1
   噪声功率 = E[|n|²] = 0.1
   SNR = 1/0.1 = 10（线性）= 10 dB

进阶题 1-9：

信道向量 \(\mathbf{h} = [h_0, h_1]^T\)，自相关矩阵为： \(\(R_{hh} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)\)

1. 每个子载波的信道功率是多少？
2. 两个子载波的相关系数是多少？
3. 若 \(h_0\) 和 \(h_1\) 独立，\(R_{hh}\) 应该是什么形式？

答案：

1
2
3
4
5
6
7

1. 信道功率 = 对角元素 = 2

2. 相关系数 ρ = Cov(h₀,h₁)/√(Var(h₀)Var(h₁))
             = 1/√(2×2) = 1/2 = 0.5

3. 若独立，则非对角元素为 0：
   R_{hh} = [[2, 0], [0, 2]] = 2I

📌 本章小结¶

关键公式速查¶

重要分布¶

与后续章节的联系¶

• 第 2 章（随机过程）： 将随机变量推广到时间序列
• 第 4 章（估计理论）： 用期望和方差评价估计量性能
• 第 7 章（信道建模）： 用自相关矩阵描述信道统计特性
• 第 9 章（信道估计）： LMMSE 估计依赖 \(R_{hh}\)

🎓 本章完成检查¶

在完成第 2 章之前，确保你能：

• 解释随机变量、PDF、PMF 的区别
• 计算离散和连续随机变量的期望
• 使用期望的线性性质
• 推导方差公式 \(\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2\)
• 解释协方差的物理意义
• 写出复高斯分布的 PDF
• 说明瑞利分布和莱斯分布的应用场景
• 计算 2×2 自相关矩阵的元素

全部掌握？ → 继续学习 第 2 章 随机过程

还有疑问？ → 重读本章节，或做更多练习题

第 1 章 结束