第 2 章 随机过程¶

本章预计学习时间： 4 小时
前置知识： 第 1 章（概率论基础）、微积分基础
后续依赖： 第 7 章（无线信道建模）、第 9 章（信道估计）

📌 本章目标¶

学完本章后，你将能够：

1. 理解 随机过程与随机变量的区别和联系
2. 解释 平稳性和各态历经性的物理意义
3. 计算 自相关函数和互相关函数
4. 应用 功率谱密度分析信号特性
5. 推导 通信系统中常用的相关函数模型

2.1 什么是随机过程？¶

🎯 基础概念（零基础友好）¶

从随机变量到随机过程¶

回顾（第 1 章）：

随机变量 \(X\) 是一个"机器"，每次输出一个数，输出什么事先不确定。

例子 2-1：掷骰子

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随机变量 X = "掷骰子的点数"
- 第 1 次掷：X = 4
- 第 2 次掷：X = 2
- 第 3 次掷：X = 6
...

问题： 如果要记录**一整天连续掷骰子**的结果呢？

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时间 t=0:00  →  X = 3
时间 t=0:01  →  X = 5
时间 t=0:02  →  X = 1
时间 t=0:03  →  X = 6
...

答案： 需要**随机过程**！

直观理解：

随机过程 = 随机变量 × 时间（或空间）

定义（通俗版）：

随机过程是一族随机变量 \(\{X(t), t \in T\}\)，每个时刻 \(t\) 对应一个随机变量 \(X(t)\)。

生活中的随机过程¶

例子 2-2：股票价格

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随机过程 S(t) = "时刻 t 的股票价格"

- t=9:30  →  S(t) = 100.5 元
- t=9:31  →  S(t) = 100.8 元
- t=9:32  →  S(t) = 100.3 元
...

特点：
- 每个时刻的价格是随机的
- 相邻时刻的价格通常相关（不会突变）

例子 2-3：温度变化

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随机过程 T(t) = "时刻 t 的室外温度"

- 凌晨 3 点：T(t) = 15°C
- 上午 9 点：T(t) = 20°C
- 中午 12 点：T(t) = 25°C
- 下午 6 点：T(t) = 23°C

特点：
- 温度随时间连续变化
- 有日周期性（白天高、夜晚低）
- 相邻时刻温度高度相关

通信中的随机过程¶

例子 2-4：接收信号

在 4G/5G 系统中，接收信号 \(y(t)\) 是随机过程：

其中： - \(h(t)\)：时变信道（随机过程） - \(x(t)\)：发送信号（确定或随机） - \(n(t)\)：噪声（随机过程）

为什么是随机的？ 1. 信道 \(h(t)\) 随机： 多径传播、多普勒效应 2. 噪声 \(n(t)\) 随机： 热噪声、干扰

例子 2-5：OFDM 子载波

对于第 \(k\) 个子载波，其信道增益 \(H_k\) 是随机变量。

所有子载波的信道构成**随机过程**（频率的函数）：

关键理解： - 固定时刻，改变频率 \(k\) → 频率域的随机过程 - 固定子载波 \(k\)，改变时间 \(t\) → 时间域的随机过程

📐 数学定义¶

定义 2-1（随机过程）：

随机过程是定义在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的一族随机变量：

通常简写为 \(\{X(t), t \in T\}\) 或 \(X(t)\)。

参数解释：

两种视角¶

视角 1：固定时间 \(t_0\)

例子： 固定 \(t=10:00\)，温度 \(T(10:00)\) 是随机变量（不同天可能不同）。

视角 2：固定样本 \(\omega_0\)

例子： 固定某一天（\(\omega_0\) = 2026-03-24），温度 \(T(t, \omega_0)\) 是时间的确定函数。

图形表示：

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温度 (°C)
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25|         /‾‾‾\      ← ω₁ (某一天)
  |        /     \
20|   ____/       \___
  |  /                \
15|_/                  \____
  |
  +--------------------------→ 时间
    0:00  6:00  12:00  18:00

每条曲线是一次"实现"（realization）

分类¶

按时间分类：

按取值分类：

📝 数值例子¶

例子 2-6：离散时间随机游走

场景： 醉汉走路，每步随机向左或向右。

模型： \(\(X[n] = \sum_{k=1}^{n} Z_k\)\)

其中 \(Z_k\) 是第 \(k\) 步的位移： - \(P(Z_k = +1) = 0.5\)（向右） - \(P(Z_k = -1) = 0.5\)（向左）

一次实现：

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n=0: X[0] = 0
n=1: X[1] = +1  （向右）
n=2: X[2] = 0   （向左）
n=3: X[3] = -1  （向左）
n=4: X[4] = 0   （向右）
...

统计特性： \(\(E[Z_k] = (+1)×0.5 + (-1)×0.5 = 0\)\) \(\(\text{Var}(Z_k) = E[Z_k^2] - (E[Z_k])^2 = 1 - 0 = 1\)\)

物理解释： 平均位置在原点，但方差随时间增长（越来越分散）。

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "随机过程就是随时间变化的函数"

纠正： 随机过程的关键是**随机性**，不是时间变化。

反例： \(X(t) = \sin(t)\) 是时间的确定函数，不是随机过程。

正确理解： 随机过程在每个时刻都是随机变量。

误区 2： "随机过程和随机变量序列是一回事"

纠正： 随机变量序列是离散时间的随机过程，但随机过程也可以是连续时间的。

✏️ 练习题¶

基础题 2-1：

判断以下是否为随机过程： 1. \(X(t) = \sin(t + \Theta)\)，其中 \(\Theta \sim U[0, 2\pi]\) 2. \(Y(t) = t^2\) 3. $Z[n] = $ 第 \(n\) 次掷骰子的点数

答案：

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1. 是随机过程（Θ是随机变量，所以每个时刻 X(t) 是随机的）

2. 不是随机过程（是确定函数）

3. 是随机过程（离散时间随机过程）

2.2 平稳性与各态历经性 ⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

为什么要研究平稳性？¶

问题： 随机过程 \(\{X(t), t \in T\}\) 有无穷多个随机变量，如何描述其统计特性？

** naive 方法：** 对每个时刻 \(t\)，指定 \(X(t)\) 的分布。

问题： 需要无穷多个分布函数！无法处理。

解决方案： 如果随机过程是**平稳**的，统计特性不随时间变化，只需描述一个时刻！

📐 严平稳 (Strict-Sense Stationary, SSS)¶

定义 2-2（严平稳）：

随机过程 \(X(t)\) 是严平稳的，如果对于任意 \(n\)、任意时刻 \(t_1, ..., t_n\) 和任意时间平移 \(\tau\)：

解释： 联合概率分布不随时间平移改变。

直观理解： 无论从哪个时刻开始观察，统计特性都一样。

严平稳的例子¶

例子 2-7：白噪声

且不同时刻独立。

验证： - 任意时刻 \(t\)，\(n(t)\) 的分布相同 - 任意多个时刻的联合分布只与相对位置有关（因为独立）

✅ 是严平稳

例子 2-8：正弦波 + 随机相位

其中 \(\Theta \sim U[0, 2\pi]\)。

验证：

固定时刻 \(t\)，\(X(t)\) 的分布取决于 \(\sin(2\pi f t + \Theta)\)。

由于 \(\Theta\) 均匀分布，\(\sin(\cdot)\) 的输出分布与 \(t\) 无关！

✅ 是严平稳

📐 宽平稳 (Wide-Sense Stationary, WSS)¶

问题：严平稳条件太强¶

问题： 严平稳要求所有阶分布都不变，实际中很难验证。

解决方案： 只关心**一阶矩**（期望）和**二阶矩**（相关函数）→ 宽平稳

定义 2-3（宽平稳）：

随机过程 \(X(t)\) 是宽平稳的，如果满足：

1. 期望为常数： \(\(E[X(t)] = \mu, \quad \forall t\)\)

2. 自相关只与时间差有关： \(\(R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X^*(t_2)] = R_X(t_1 - t_2)\)\)

记号： 令 \(\tau = t_1 - t_2\)，则： \(\(R_X(\tau) = E[X(t+\tau)X^*(t)]\)\)

关键理解¶

条件 1 解释： - 长期平均值不随时间变化 - 没有"趋势"（如线性增长）

条件 2 解释： - 相关性只取决于两个时刻的**间隔**，与绝对时刻无关 - \(R_X(0) = E[|X(t)|^2]\)（平均功率，为常数）

严平稳 vs 宽平稳¶

关键定理：

若 \(X(t)\) 是高斯随机过程（任意多个时刻的联合分布是高斯的），则： \(\(\text{WSS} \iff \text{SSS}\)\)

原因： 高斯分布完全由均值和协方差确定！

📊 各态历经性 (Ergodicity)¶

问题：如何估计统计特性？¶

场景： 我们通常只有**一次实现** \(x(t)\)（如某一天的温度记录），如何估计： - 期望 \(E[X(t)]\)？ - 自相关 \(R_X(\tau)\)？

方法 1：系综平均

需要多次独立实验： \(\(E[X(t)] \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x^{(i)}(t)\)\)

问题： 实际中很难获得多次独立实现！

方法 2：时间平均

用一次实现的时间平均代替： \(\(\langle X(t) \rangle = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t) dt\)\)

问题： 时间平均 = 统计平均吗？

答案： 若过程是**各态历经**的，则相等！

定义 2-4（各态历经）：

均值各态历经： \(\(\lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X(t) dt = E[X(t)]\)\)

自相关各态历经： \(\(\lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X(t+\tau)X^*(t) dt = R_X(\tau)\)\)

直观理解：

一次实现的长时间观察 = 无穷多次实现的瞬时观察

各态历经的条件¶

定理： 若 \(X(t)\) 是宽平稳的，且满足： \(\(\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_0^{2T} \left(1 - \frac{\tau}{2T}\right) [R_X(\tau) - \mu^2] d\tau = 0\)\)

则 \(X(t)\) 是均值各态历经的。

直观解释： 自相关函数随 \(\tau\) 增大而衰减到 \(\mu^2\)。

📡 通信中的应用¶

应用 1：噪声建模¶

假设： 热噪声 \(n(t)\) 是宽平稳的。

验证： 1. \(E[n(t)] = 0\)（常数）✅ 2. \(R_n(t_1, t_2) = E[n(t_1)n(t_2)]\)

对于白噪声： \(\(R_n(\tau) = \sigma^2 \delta(\tau)\)\)

只与 \(\tau = t_1 - t_2\) 有关 ✅

结论： 热噪声是宽平稳的。

应用 2：衰落信道¶

信道模型： \(\(h(t) = \sum_{l=0}^{L-1} \alpha_l(t) e^{-j2\pi f_c \tau_l(t)}\)\)

假设： - \(\alpha_l(t)\) 和 \(\tau_l(t)\) 是慢变的 - 观察时间远小于信道变化时间尺度

近似： 在短时间窗口内，\(h(t)\) 可视为宽平稳。

应用 3：信号检测¶

接收信号： \(\(y(t) = s(t) + n(t)\)\)

假设： - \(s(t)\) 是确定信号（或已知统计特性） - \(n(t)\) 是宽平稳噪声

检测器设计： 利用噪声的平稳性，设计最优检测器（如匹配滤波器）。

📝 数值例子¶

例子 2-9：验证宽平稳

随机过程： \(\(X(t) = A \cos(2\pi f_0 t + \Theta)\)\)

其中： - \(A\) 和 \(f_0\) 是常数 - \(\Theta \sim U[0, 2\pi]\)

验证宽平稳：

步骤 1：计算期望

步骤 2：计算自相关

用三角恒等式 \(\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]\)：

第二项： \(\(E[\cos(2\pi f_0 (t_1+t_2) + 2\Theta)] = \int_0^{2\pi} \cos(C + 2\theta) \frac{1}{2\pi} d\theta = 0\)\)

所以： \(\(R_X(t_1, t_2) = \frac{A^2}{2} \cos(2\pi f_0 (t_1-t_2)) = R_X(\tau)\)\)

其中 \(\tau = t_1 - t_2\)。✅

结论： \(X(t)\) 是宽平稳的。

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "平稳过程就是不变化的过程"

纠正： 平稳是指**统计特性**不变化，不是样本函数不变化。

例子： 白噪声 \(n(t)\) 是平稳的，但每次观察都在随机波动。

误区 2： "所有实际过程都是平稳的"

纠正： 很多实际过程是非平稳的： - 有趋势（如股票长期上涨） - 有周期性（如温度的季节性变化） - 有突变（如开关机）

处理： 在短时间窗口内近似为平稳。

误区 3： "各态历经性总是成立"

纠正： 各态历经需要条件。

反例： \(X(t) = A\)，其中 \(A\) 是随机变量（但在一次实现中是常数）。

• 系综平均：\(E[X(t)] = E[A]\)
• 时间平均：\(\langle X(t) \rangle = A\)（某次实现的固定值）

显然 \(A \neq E[A]\)（除非 \(A\) 是确定值）。

✏️ 练习题¶

基础题 2-2：

随机过程 \(X(t) = \Theta\)，其中 \(\Theta \sim U[0, 1]\)。

1. 计算 \(E[X(t)]\)
2. 计算 \(R_X(t_1, t_2)\)
3. 判断是否宽平稳

答案：

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1. E[X(t)] = E[Θ] = 0.5（常数）

2. R_X(t₁,t₂) = E[Θ·Θ] = E[Θ²] = ∫₀¹ θ² dθ = 1/3

3. R_X(t₁,t₂) = 1/3（常数，与 t₁,t₂ 都无关）
   所以是宽平稳 ✓

进阶题 2-3：

随机过程 \(X(t) = A \cos(2\pi f_0 t)\)，其中 \(A \sim \mathcal{N}(0, 1)\)。

1. 计算 \(E[X(t)]\)
2. 计算 \(R_X(t_1, t_2)\)
3. 判断是否宽平稳

答案：

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1. E[X(t)] = E[A]·cos(2πf₀t) = 0·cos(...) = 0 ✓

2. R_X(t₁,t₂) = E[A cos(2πf₀t₁) · A cos(2πf₀t₂)]
              = E[A²] · cos(2πf₀t₁)cos(2πf₀t₂)
              = 1 · cos(2πf₀t₁)cos(2πf₀t₂)
              = ½[cos(2πf₀(t₁-t₂)) + cos(2πf₀(t₁+t₂))]

3. R_X(t₁,t₂) 依赖于 t₁+t₂，不只是 t₁-t₂
   所以不是宽平稳 ✗

2.3 自相关与互相关函数 ⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

为什么要研究相关函数？¶

问题： 如何量化随机过程在不同时刻的"相似性"？

例子 2-10：温度相关性

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问：今天的温度与明天的温度相关吗？
答：高度相关！因为天气变化是连续的。

问：今天的温度与下个月的温度相关吗？
答：相关性很弱。

数学工具： 自相关函数量化这种相关性！

📐 自相关函数¶

定义 2-5（自相关函数）：

对于随机过程 \(X(t)\)，其自相关函数为：

对于宽平稳过程： \(\(R_X(\tau) = E[X(t+\tau)X^*(t)]\)\)

其中 \(\tau = t_1 - t_2\) 是时间差。

物理解释¶

\(R_X(\tau)\) 的含义：

信号 \(X(t)\) 与其延迟版本 \(X(t+\tau)\) 的相似度。

特殊情况：

重要性质¶

性质 1：共轭对称性 \(\(R_X(\tau) = R_X^*(-\tau)\)\)

推导： \(\(\begin{aligned} R_X(-\tau) &= E[X(t-\tau)X^*(t)] \\ &= E[X(t')X^*(t'+\tau)] \quad (t' = t-\tau) \\ &= E[(X(t'+\tau)X^*(t'))^*] \\ &= R_X^*(\tau) \quad \checkmark \end{aligned}\)\)

对于实过程： \(R_X(\tau) = R_X(-\tau)\)（偶函数）

性质 2：最大值在原点 \(\(|R_X(\tau)| \leq R_X(0)\)\)

证明： 考虑非负性

展开： \(\(E[|X(t+\tau)|^2] + E[|X(t)|^2] \pm 2\text{Re}\{E[X(t+\tau)X^*(t)]\} \geq 0\)\)

同理可证虚部，所以 \(|R_X(\tau)| \leq R_X(0)\)。✅

性质 3：周期性

若 \(X(t)\) 是周期过程（\(X(t+T) = X(t)\)），则： \(\(R_X(\tau+T) = R_X(\tau)\)\)

解释： 自相关函数继承原过程的周期性。

📊 互相关函数¶

定义 2-6（互相关函数）：

对于两个随机过程 \(X(t)\) 和 \(Y(t)\)，其互相关函数为：

对于联合宽平稳过程： \(\(R_{XY}(\tau) = E[X(t+\tau)Y^*(t)]\)\)

与自相关的区别¶

关系： \(\(R_{XY}(\tau) = R_{YX}^*(-\tau)\)\)

📡 在通信中的应用 ⭐⭐⭐¶

应用 1：信道相关性建模¶

场景： OFDM 系统，频域信道 \(H[k]\)。

问题： 相邻子载波的信道相关吗？

答案： 相关！因为多径信道的频率选择性。

频域自相关： \(\(R_{HH}[m] = E[H[k]H^*[k+m]]\)\)

Jakes 模型（经典）： \(\(R_{HH}(\Delta f) = \frac{1}{1 + j2\pi\Delta f \cdot \tau_{\text{rms}}}\)\)

其中 \(\tau_{\text{rms}}\) 是 RMS 时延扩展。

数值例子 2-11：

假设 \(\tau_{\text{rms}} = 1 \mu s\)，子载波间隔 \(\Delta f = 15 kHz\)。

相邻子载波 (\(\Delta f = 15 kHz\))： \(\(R_{HH} = \frac{1}{1 + j2\pi \cdot 15\times10^3 \cdot 1\times10^{-6}} = \frac{1}{1 + j0.094}\)\)

解释： 相邻子载波高度相关！

相隔 10 个子载波 (\(\Delta f = 150 kHz\))： \(\(R_{HH} = \frac{1}{1 + j2\pi \cdot 150\times10^3 \cdot 1\times10^{-6}} = \frac{1}{1 + j0.94}\)\)

解释： 相关性下降，但仍中度相关。

应用 2：时域信道相关（多普勒）¶

场景： 移动终端，信道随时间变化。

时域自相关： \(\(R_H(\Delta t) = E[H(t+\Delta t)H^*(t)]\)\)

Jakes 模型： \(\(R_H(\Delta t) = J_0(2\pi f_d \Delta t)\)\)

其中： - \(J_0(\cdot)\) 是第一类零阶贝塞尔函数 - \(f_d = \frac{v}{c} f_c\) 是多普勒频移

参数解释：

数值例子 2-12：

假设： - \(f_c = 2\) GHz - \(v = 30\) m/s (108 km/h，高速公路)

多普勒频移： \(\(f_d = \frac{30}{3\times10^8} \times 2\times10^9 = 200 \text{ Hz}\)\)

相干时间（相关性显著的时间尺度）： \(\(T_c \approx \frac{0.423}{f_d} = \frac{0.423}{200} \approx 2.1 \text{ ms}\)\)

解释： - \(\Delta t < 2.1\) ms：信道高度相关 - \(\Delta t > 2.1\) ms：信道相关性显著下降

应用： 信道估计的更新频率应高于 \(1/T_c \approx 476\) Hz。

应用 3：匹配滤波器¶

接收信号： \(\(y(t) = s(t) + n(t)\)\)

匹配滤波器： \(\(h(t) = s^*(T-t)\)\)

输出信噪比： \(\(\text{SNR}_{\text{out}} = \frac{2E_s}{N_0}\)\)

其中 \(E_s = \int |s(t)|^2 dt\) 是信号能量。

推导用自相关： \(\(R_s(\tau) = \int s(t+\tau)s^*(t) dt\)\)

在 \(\tau=0\) 时，\(R_s(0) = E_s\)。

📝 数值例子¶

例子 2-13：计算自相关函数

随机过程： \(\(X(t) = A \cos(2\pi f_0 t + \Theta)\)\)

其中 \(\Theta \sim U[0, 2\pi]\)。

已在例 2-9 中推导： \(\(R_X(\tau) = \frac{A^2}{2} \cos(2\pi f_0 \tau)\)\)

数值计算：

假设 \(A = 1\)，\(f_0 = 1000\) Hz。

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τ = 0:      R_X(0) = 0.5 × cos(0) = 0.5
τ = 0.25ms: R_X(0.00025) = 0.5 × cos(2π×1000×0.00025) = 0.5 × cos(π/2) = 0
τ = 0.5ms:  R_X(0.0005) = 0.5 × cos(π) = -0.5
τ = 1ms:    R_X(0.001) = 0.5 × cos(2π) = 0.5

解释： - \(\tau = 0\)：平均功率 = 0.5 - \(\tau = 0.25\) ms：完全不相关（正交） - \(\tau = 0.5\) ms：完全负相关 - \(\tau = 1\) ms：完全正相关（周期性）

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "\(R_X(\tau)\) 是概率"

纠正： \(R_X(\tau)\) 是二阶矩，不是概率！可以大于 1，可以是负数。

误区 2： "\(R_X(\tau) = 0\) 意味着独立"

纠正： \(R_X(\tau) = 0\) 只说明不相关（线性无关），不一定独立。

误区 3： "自相关函数一定是正的"

纠正： \(R_X(0)\) 一定是正的（功率），但 \(R_X(\tau)\) 对于 \(\tau \neq 0\) 可以是负的。

例子： \(R_X(\tau) = \cos(\tau)\) 在 \(\tau = \pi\) 时为 -1。

✏️ 练习题¶

基础题 2-4：

已知宽平稳过程 \(X(t)\) 的自相关函数为： \(\(R_X(\tau) = 4e^{-|\tau|}\)\)

1. 计算平均功率 \(E[|X(t)|^2]\)
2. 计算 \(R_X(1)\)
3. 判断 \(R_X(\tau)\) 是否为偶函数

答案：

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1. E[|X(t)|²] = R_X(0) = 4e⁰ = 4

2. R_X(1) = 4e⁻¹ ≈ 4 × 0.368 = 1.472

3. R_X(-τ) = 4e⁻|-τ| = 4e⁻|τ| = R_X(τ)
   是偶函数 ✓

进阶题 2-5：

两个独立随机过程 \(X(t)\) 和 \(Y(t)\)，定义 \(Z(t) = X(t) + Y(t)\)。

1. 推导 \(R_Z(\tau)\) 与 \(R_X(\tau)\)、\(R_Y(\tau)\) 的关系
2. 若 \(X(t)\) 和 \(Y(t)\) 不独立，结果如何？

答案：

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1. R_Z(τ) = E[Z(t+τ)Z*(t)]
          = E[(X(t+τ)+Y(t+τ))(X*(t)+Y*(t))]
          = E[X(t+τ)X*(t)] + E[X(t+τ)Y*(t)] + E[Y(t+τ)X*(t)] + E[Y(t+τ)Y*(t)]

   因为 X 和 Y 独立：
   E[X(t+τ)Y*(t)] = E[X(t+τ)]E[Y*(t)] = μ_X μ_Y*

   所以：
   R_Z(τ) = R_X(τ) + R_Y(τ) + 2Re{μ_X μ_Y*}

   若均值为 0：
   R_Z(τ) = R_X(τ) + R_Y(τ) ✓

2. 若不独立，交叉项 E[X(t+τ)Y*(t)] ≠ μ_X μ_Y*
   需要知道互相关 R_XY(τ)

2.4 功率谱密度 (PSD) ⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

为什么要研究功率谱密度？¶

问题： 自相关函数 \(R_X(\tau)\) 描述时域特性，如何在频域分析？

类比： 确定信号 \(x(t)\) 可以用傅里叶变换 \(X(f)\) 分析频谱。

随机信号： 不能用傅里叶变换（不满足绝对可积），但可以用**功率谱密度**。

📐 定义¶

定义 2-7（功率谱密度）：

对于宽平稳随机过程 \(X(t)\)，其功率谱密度 \(S_X(f)\) 是自相关函数的傅里叶变换：

逆变换： \(\(R_X(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} S_X(f) e^{j2\pi f\tau} df\)\)

维纳 - 辛钦定理 (Wiener-Khinchin Theorem)：

宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换对。

意义： 建立了时域（\(R_X(\tau)\)）和频域（\(S_X(f)\)）的桥梁！

物理解释¶

\(S_X(f)\) 的含义：

信号功率在频率上的分布密度。

总功率： \(\(E[|X(t)|^2] = R_X(0) = \int_{-\infty}^{\infty} S_X(f) df\)\)

解释： PSD 曲线下的总面积 = 总平均功率。

频带功率：

信号在频带 \([f_1, f_2]\) 内的功率为： \(\(P_{[f_1, f_2]} = \int_{f_1}^{f_2} S_X(f) df\)\)

📊 典型随机过程的 PSD¶

1. 白噪声 ⭐⭐⭐¶

自相关： \(\(R_n(\tau) = \sigma^2 \delta(\tau)\)\)

功率谱密度： \(\(S_n(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \sigma^2 \delta(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau = \sigma^2\)\)

特性： - PSD 是常数（所有频率功率相同） - 总功率 \(\int_{-\infty}^{\infty} \sigma^2 df = \infty\)（理想化模型）

物理解释： "白"类比白光（包含所有频率）。

2. 带限白噪声¶

定义： 只在频带 \([-B, B]\) 内有功率。

PSD： \(\(S_X(f) = \begin{cases} \frac{N_0}{2} & |f| \leq B \\ 0 & |f| > B \end{cases}\)\)

自相关： \(\(\begin{aligned} R_X(\tau) &= \int_{-B}^{B} \frac{N_0}{2} e^{j2\pi f\tau} df \\ &= \frac{N_0}{2} \cdot \frac{\sin(2\pi B\tau)}{\pi\tau} \\ &= N_0 B \cdot \text{sinc}(2B\tau) \end{aligned}\)\)

其中 \(\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\)。

数值例子 2-14：

假设 \(B = 10\) MHz，\(N_0/2 = 10^{-17}\) W/Hz。

总功率： \(\(P = \int_{-B}^{B} \frac{N_0}{2} df = N_0 B = 2 \times 10^{-17} \times 10^7 = 2 \times 10^{-10} \text{ W} = -67 \text{ dBm}\)\)

自相关过零点： \(\(\text{sinc}(2B\tau) = 0 \Rightarrow 2B\tau = 1, 2, 3, ...\)\)

解释： 相隔 50 ns 的样本不相关。

3. 多径信道的 PSD（Jakes 谱）¶

时域自相关： \(\(R_H(\Delta t) = J_0(2\pi f_d \Delta t)\)\)

功率谱密度： \(\(S_H(f) = \begin{cases} \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - (f/f_d)^2}} & |f| < f_d \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)\)

特性： - 功率集中在 \([-f_d, f_d]\) 范围内 - 在 \(f = \pm f_d\) 处有奇点（无穷大）

物理解释： 多普勒频移导致频谱展宽。

📡 通信中的应用¶

应用 1：噪声功率计算¶

场景： 接收机带宽 \(B\)，噪声 PSD 为 \(N_0/2\)。

噪声功率： \(\(P_n = \int_{-B}^{B} \frac{N_0}{2} df = N_0 B\)\)

信噪比： \(\(\text{SNR} = \frac{P_s}{P_n} = \frac{P_s}{N_0 B}\)\)

关键理解： 带宽越大，噪声功率越大！

应用 2：匹配滤波器设计¶

目标： 最大化输出信噪比。

最优滤波器： \(\(H(f) = k S^*(f) e^{-j2\pi f T}\)\)

其中 \(S(f)\) 是发送信号的频谱。

输出信噪比： \(\(\text{SNR}_{\text{out}} = \frac{2E_s}{N_0}\)\)

与噪声 PSD \(N_0\) 成反比。

应用 3：信道容量¶

香农公式： \(\(C = B \log_2\left(1 + \frac{P_s}{N_0 B}\right)\)\)

其中： - \(B\)：带宽 - \(P_s\)：信号功率 - \(N_0\)：噪声 PSD

物理解释： - 带宽 \(B\) 增大 → 容量增大（第一项） - 但 \(B\) 增大 → 噪声功率 \(N_0 B\) 增大 → SNR 下降（第二项）

最优带宽： 存在最优值，权衡两项。

📝 数值例子¶

例子 2-15：比较不同带宽的 SNR

假设： - \(P_s = 1\) mW - \(N_0 = 4 \times 10^{-21}\) W/Hz（室温热噪声）

带宽 \(B = 1\) MHz： \(\(P_n = N_0 B = 4 \times 10^{-21} \times 10^6 = 4 \times 10^{-15} \text{ W}\)\) \(\(\text{SNR} = \frac{10^{-3}}{4 \times 10^{-15}} = 2.5 \times 10^{11} \approx 114 \text{ dB}\)\)

带宽 \(B = 100\) MHz： \(\(P_n = 4 \times 10^{-21} \times 10^8 = 4 \times 10^{-13} \text{ W}\)\) \(\(\text{SNR} = \frac{10^{-3}}{4 \times 10^{-13}} = 2.5 \times 10^9 \approx 94 \text{ dB}\)\)

解释： 带宽增加 100 倍，SNR 下降 20 dB。

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "PSD 是功率"

纠正： PSD 是"功率密度"，单位是 W/Hz。需要积分才能得到功率。

误区 2： "白噪声的功率是无穷大，所以不存在"

纠正： 理想白噪声是数学模型，实际系统都有带宽限制。

实际： 带限白噪声，功率有限。

误区 3： "PSD 总是正的"

纠正： PSD 是非负的（\(S_X(f) \geq 0\)），这是物理要求（功率不能为负）。

✏️ 练习题¶

基础题 2-6：

白噪声 \(n(t)\) 的 PSD 为 \(S_n(f) = \frac{N_0}{2}\)。

1. 写出自相关函数 \(R_n(\tau)\)
2. 计算带宽 \(B\) 内的噪声功率

答案：

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1. R_n(τ) = F⁻¹{N₀/2} = (N₀/2) · δ(τ)

2. P = ∫₋ᵇᵇ (N₀/2) df = N₀B

进阶题 2-7：

随机过程 \(X(t)\) 的自相关函数为： \(\(R_X(\tau) = e^{-\alpha|\tau|} \cos(2\pi f_0 \tau)\)\)

1. 求功率谱密度 \(S_X(f)\)
2. 画出 \(S_X(f)\) 的草图

提示：

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2
3

用傅里叶变换的性质：
F{e⁻ᵅ|τ|} = 2α/(α² + (2πf)²)
F{x(τ)cos(2πf₀τ)} = ½[X(f-f₀) + X(f+f₀)]

答案：

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8

1. 令 g(τ) = e⁻ᵅ|τ|，则 G(f) = 2α/(α² + (2πf)²)

   R_X(τ) = g(τ)cos(2πf₀τ)

   S_X(f) = ½[G(f-f₀) + G(f+f₀)]
           = ½[2α/(α² + (2π(f-f₀))²) + 2α/(α² + (2π(f+f₀))²)]

2. 草图：两个洛伦兹峰，中心在 ±f₀

📌 本章小结¶

关键公式速查¶

重要模型¶

与后续章节的联系¶

• 第 7 章（信道建模）： 用自相关函数描述信道的时间/频率相关性
• 第 8 章（噪声模型）： 白噪声和带限噪声的 PSD
• 第 9 章（信道估计）： LMMSE 估计依赖信道相关矩阵

🎓 本章完成检查¶

在完成第 3 章之前，确保你能：

• 解释随机过程与随机变量的区别
• 说明宽平稳的两个条件
• 解释各态历经性的物理意义
• 计算自相关函数 \(R_X(\tau)\)
• 说明 \(R_X(0)\) 的物理意义
• 推导白噪声的 PSD
• 计算带限噪声的功率
• 解释 Jakes 模型中的多普勒频移

全部掌握？ → 继续学习 第 3 章 线性代数

还有疑问？ → 重读本章节，或做更多练习题

第 2 章 结束