第 4 章 估计理论¶

本章预计学习时间： 4 小时
前置知识： 第 1 章（概率论）、第 2 章（随机过程）、第 3 章（线性代数）
后续依赖： 第 9 章（信道估计算法）、第 10 章（均衡算法）

📌 本章目标¶

学完本章后，你将能够：

1. 理解 参数估计的基本概念和评价标准
2. 推导 最大似然估计（MLE）的完整过程
3. 推导 最小二乘估计（LS）的闭式解
4. 理解 贝叶斯估计与 MMSE 估计的关系
5. 应用 估计理论解决通信中的信道估计问题

4.1 参数估计基本概念¶

🎯 基础概念（零基础友好）¶

什么是估计问题？¶

生活中的例子：

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场景：你想知道从家到公司的平均通勤时间

方法：记录 10 天的通勤时间
数据：35min, 42min, 38min, 45min, 40min, 37min, 43min, 39min, 41min, 36min

问题：如何从这 10 个数据推断"平均通勤时间"？

答案：用估计！

估计量： 样本平均值 \(\(\hat{\mu} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i = 39.6 \text{ min}\)\)

通信中的例子：

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场景：接收机收到信号 y，想知道发送的符号 x

模型：y = hx + n

已知：y（接收信号）、h（信道，可能已知或未知）
未知：x（发送符号）

问题：如何从 y 估计 x？

答案：用估计理论！

估计问题的数学描述¶

定义 4-1（参数估计问题）：

观测数据 \(\mathbf{y}\) 与未知参数 \(\theta\) 的关系：

其中： - \(\theta\)：未知参数（待估计） - \(\mathbf{y}\)：观测数据（已知） - \(\mathbf{n}\)：噪声（随机） - \(f(\cdot)\)：已知函数

目标： 从 \(\mathbf{y}\) 构造估计量 \(\hat{\theta} = g(\mathbf{y})\)

关键区分：

📊 估计量的评价标准¶

问题：如何判断估计量好不好？¶

直观想法： 估计值应该接近真值。

数学化： 需要定量的评价指标！

标准 1：无偏性¶

定义 4-2（无偏估计）：

估计量 \(\hat{\theta}\) 是无偏的，如果：

解释： 估计量的期望等于真值。

有偏估计： \(E[\hat{\theta}] \neq \theta\)

偏差： \(\text{Bias}(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta\)

例子 4-1：样本均值的无偏性

问题： 估计总体均值 \(\mu\)

估计量： 样本均值 \(\hat{\mu} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\)

验证无偏性：

所以样本均值是无偏估计！

例子 4-2：样本方差的有偏性

问题： 估计总体方差 \(\sigma^2\)

** naive 估计量：** \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2\)

可以证明： \(\(E[\hat{\sigma}^2] = \frac{N-1}{N}\sigma^2 \neq \sigma^2\)\)

偏差： \(\text{Bias} = -\frac{\sigma^2}{N}\)

无偏修正： \(\(s^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2\)\)

标准 2：一致性¶

定义 4-3（一致估计）：

估计量 \(\hat{\theta}_N\)（基于 \(N\) 个样本）是一致的，如果：

解释： 样本数→∞时，估计量依概率收敛到真值。

直观理解：

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N = 10:  估计值可能在真值附近波动
N = 100: 波动范围变小
N = 1000: 非常接近真值

标准 3：有效性¶

定义 4-4（有效性）：

对于两个无偏估计量 \(\hat{\theta}_1\) 和 \(\hat{\theta}_2\)：

若 \(\text{Var}(\hat{\theta}_1) < \text{Var}(\hat{\theta}_2)\)，则 \(\hat{\theta}_1\) 更有效。

解释： 方差小 = 估计值波动小 = 更可靠！

例子 4-3：比较两个均值估计量

数据： \(x_1, x_2, ..., x_N\) 独立同分布，均值 \(\mu\)，方差 \(\sigma^2\)

估计量 1： 样本均值 \(\hat{\mu}_1 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\)

估计量 2： 只用第一个样本 \(\hat{\mu}_2 = x_1\)

比较： \(\frac{\sigma^2}{N} < \sigma^2\)（当 \(N > 1\)）

结论： \(\hat{\mu}_1\) 更有效！

标准 4：均方误差（MSE）⭐⭐⭐¶

定义 4-5（MSE）：

MSE 分解公式 ⭐⭐⭐：

推导：

令 \(b = \text{Bias}(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta\)

物理解释：

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MSE = 方差 + 偏差²

方差：估计值的波动程度（随机误差）
偏差²：系统误差的平方

好的估计量：方差小 + 偏差小

方差 - 偏差权衡 ⭐：

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复杂模型：偏差小，方差大（过拟合）
简单模型：偏差大，方差小（欠拟合）

最优：平衡两者，最小化 MSE

📡 在通信中的应用¶

应用 1：信道估计¶

模型： \(\(y = hx + n\)\)

已知： 导频符号 \(x_p\)（发射端已知的参考信号）

观测： \(y_p = h x_p + n\)

估计： \(\hat{h} = \frac{y_p}{x_p} = h + \frac{n}{x_p}\)

性能分析：

• 无偏性：\(E[\hat{h}] = h + E[n]/x_p = h\) ✅
• 方差：\(\text{Var}(\hat{h}) = \text{Var}(n)/|x_p|^2 = \sigma^2/|x_p|^2\)
• MSE：\(\text{MSE} = \sigma^2/|x_p|^2\)

应用 2：噪声方差估计¶

模型： 在空闲子载波上，\(y = n\)

观测： \(y_1, y_2, ..., y_N\)（只有噪声）

估计量： \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N |y_i|^2\)

验证：

是无偏估计！

✏️ 练习题 4.1¶

基础题 4-1：

估计量 \(\hat{\theta}_1\) 和 \(\hat{\theta}_2\) 的偏差和方差如下：

哪个估计量的 MSE 更小？

答案：

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MSE(θ̂₁) = Var(θ̂₁) + Bias² = 10 + 0 = 10
MSE(θ̂₂) = Var(θ̂₂) + Bias² = 3 + 2² = 7

θ̂₂ 的 MSE 更小！
（虽然有偏，但方差小，总体更好）

进阶题 4-2：

证明：样本均值 \(\bar{x} = \frac{1}{N}\sum x_i\) 的方差是 \(\sigma^2/N\)。

假设： \(x_i\) 独立同分布，\(\text{Var}(x_i) = \sigma^2\)

答案：

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Var(x̄) = Var((1/N)Σxᵢ)
       = (1/N)² Var(Σxᵢ)
       = (1/N)² Σ Var(xᵢ)  （独立性）
       = (1/N)² · N · σ²
       = σ²/N  ✓

4.2 最大似然估计（MLE）⭐⭐⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

直观理解¶

问题： 如何估计未知参数 \(\theta\)？

核心思想： 选择使观测数据"最可能出现"的参数值。

例子 4-4：硬币投掷

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场景：有一枚硬币，正面概率 p 未知

实验：投掷 10 次，观察到 7 次正面

问题：p 是多少？

直观答案：p ≈ 7/10 = 0.7

为什么？因为 p=0.7 时，观察到 7 次正面的概率最大！

这就是最大似然估计！

📐 数学定义¶

定义 4-6（似然函数）：

给定观测 \(\mathbf{y}\)，参数 \(\theta\) 的似然函数为：

其中 \(f(\cdot|\theta)\) 是条件概率密度（或质量）函数。

定义 4-7（最大似然估计）：

等价地（对数似然）： \(\(\hat{\theta}_{ML} = \arg\max_{\theta} \log L(\theta)\)\)

为什么用对数？ - 对数是单调函数，不改变最大值位置 - 乘积变求和，便于计算 - 指数变线性，简化求导

🔧 MLE 的求解步骤¶

标准步骤：

1. 写出似然函数 \(L(\theta)\)
2. 取对数 \(\ell(\theta) = \log L(\theta)\)
3. 对 \(\theta\) 求导 \(\frac{\partial \ell}{\partial \theta}\)
4. 令导数为零 \(\frac{\partial \ell}{\partial \theta} = 0\)
5. 解方程得到 \(\hat{\theta}_{ML}\)

📝 经典例子¶

例子 4-5：高斯分布均值的 MLE¶

问题： \(x_1, ..., x_N \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)，估计 \(\mu\)（\(\sigma^2\) 已知）

步骤 1：似然函数

步骤 2：对数似然

步骤 3：对 \(\mu\) 求导

步骤 4：令导数为零

步骤 5：求解

结论： 高斯均值的 MLE 是样本均值！

例子 4-6：高斯分布方差的 MLE¶

问题： \(x_1, ..., x_N \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)，估计 \(\sigma^2\)（\(\mu\) 已知）

对数似然（关于 \(\sigma^2\)）：

求导：

令为零：

重要发现：

MLE 估计的方差是**有偏**的！

无偏版本： \(\(s^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)^2\)\)

📡 在通信中的应用 ⭐⭐⭐¶

应用 1：AWGN 信道中的符号检测¶

模型： \(\(y = x + n, \quad n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)\)

问题： 从 \(y\) 估计发送符号 \(x\)

假设： \(x \in \{x_1, x_2, ..., x_M\}\)（星座点）

似然函数：

MLE 检测：

结论： MLE 检测 = 最小距离检测！

几何解释：

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         Im
          ↑
          │    × 星座点 x₁
          │   /
          │  /
          │ • y（接收点）
          │  \
          │   \
          │    × 星座点 x₂
          │
──────────┼────────→ Re

选择距离 \(y\) 最近的星座点！

应用 2：信道估计的 MLE¶

模型： \(\(y_p = h x_p + n\)\)

其中 \(x_p\) 是已知导频。

似然函数：

MLE：

解：

这就是 LS 估计！

🔍 MLE 的性质¶

性质 1：渐近无偏¶

性质 2：渐近有效¶

MLE 渐近达到 Cramér-Rao 下界（CRLB）：

其中 \(I(\theta)\) 是 Fisher 信息。

性质 3：一致性¶

性质 4：不变性¶

若 \(\hat{\theta}_{ML}\) 是 \(\theta\) 的 MLE，则对于函数 \(g(\theta)\)：

例子： 若 \(\hat{\sigma}^2_{ML}\) 是方差的 MLE，则 \(\hat{\sigma}_{ML} = \sqrt{\hat{\sigma}^2_{ML}}\) 是标准差的 MLE。

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "MLE 总是无偏的"

纠正： MLE 通常是有偏的（如方差估计），只是渐近无偏。

误区 2： "MLE 总是最优的"

纠正： MLE 只在渐近意义下最优（大样本）。小样本时，贝叶斯估计可能更好。

误区 3： "MLE 需要考虑先验"

纠正： MLE 是频率学派方法，不使用先验信息。贝叶斯估计才用先验。

✏️ 练习题 4.2¶

基础题 4-3：

指数分布 \(f(x|\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}\) 的 MLE 是什么？

观测：\(x_1, ..., x_N\)

答案：

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L(λ) = ∏ λe^(-λxᵢ) = λᴺ e^(-λΣxᵢ)
ℓ(λ) = N log λ - λΣxᵢ
∂ℓ/∂λ = N/λ - Σxᵢ = 0
λ̂_ML = N/(Σxᵢ) = 1/x̄

进阶题 4-4：

推导 AWGN 信道 \(y = hx + n\) 中，当 \(x\) 是未知确定参数时的 MLE。

观测：\(y_1, ..., y_N\)（\(x\) 相同，噪声独立）

答案：

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L(h,x) = ∏ (1/πσ²) exp(-|yᵢ-hx|²/σ²)
ℓ = -N log(πσ²) - (1/σ²)Σ|yᵢ-hx|²

对 h* 求导：
∂ℓ/∂h* = (1/σ²)Σx*(yᵢ-hx) = 0
ĥ = (Σyᵢ)/(Nx) = ȳ/x

4.3 最小二乘估计（LS）⭐⭐⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

直观理解¶

问题： 如何拟合数据点？

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数据点：(x₁,y₁), (x₂,y₂), ..., (x_N,y_N)

模型：y = ax + b（直线）

问题：如何选择 a, b 使直线"最好"地拟合数据？

答案：最小化误差平方和！

这就是最小二乘！

📐 数学描述¶

定义 4-8（最小二乘估计）：

对于线性模型：

LS 估计为：

解释：

• \(\mathbf{y}\)：观测向量（\(N \times 1\)）
• \(\mathbf{H}\)：已知矩阵（\(N \times p\)）
• \(\theta\)：未知参数向量（\(p \times 1\)）
• \(\mathbf{n}\)：误差/噪声

目标： 最小化残差平方和！

🔧 LS 的闭式解¶

定理 4-1（LS 解）：

前提是 \((\mathbf{H}^H \mathbf{H})\) 可逆。

完整推导 ⭐⭐⭐：

步骤 1：写出代价函数

步骤 2：展开

（利用了 \(\mathbf{y}^H\mathbf{H}\theta = (\theta^H\mathbf{H}^H\mathbf{y})^*\)）

步骤 3：对 \(\theta\) 求梯度

使用复梯度公式： \(\(\frac{\partial}{\partial \theta^*} (\theta^H \mathbf{a}) = \mathbf{a}\)\) \(\(\frac{\partial}{\partial \theta^*} (\theta^H \mathbf{A} \theta) = \mathbf{A}\theta\)\)

步骤 4：令梯度为零

步骤 5：求解

若 \((\mathbf{H}^H \mathbf{H})\) 可逆：

几何解释：

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        y（观测）
        ↑
        │\
        │ \
        │  \
        │   \ 残差 y - Hθ̂
        │    \
        │     \
        │      • Hθ̂（投影）
        │     /
        │    /
        │   /
        └──────────→ 列空间 Col(H)

LS 解的几何意义： \(\mathbf{H}\hat{\theta}_{LS}\) 是 \(\mathbf{y}\) 在 \(\mathbf{H}\) 列空间上的正交投影！

📊 LS 的统计特性¶

无偏性¶

假设： \(\mathbf{n}\) 零均值，\(E[\mathbf{n}] = \mathbf{0}\)

LS 是无偏估计！

方差¶

假设： \(\mathbf{n}\) 的协方差为 \(\sigma^2 \mathbf{I}\)

MSE¶

由于 LS 是无偏的：

📡 在通信中的应用 ⭐⭐⭐⭐⭐¶

应用 1：导频辅助信道估计¶

模型： \(\(\mathbf{y}_p = \mathbf{X}_p \mathbf{h} + \mathbf{n}\)\)

其中： - \(\mathbf{y}_p\)：导频位置的接收信号 - \(\mathbf{X}_p\)：导频符号构成的对角矩阵 - \(\mathbf{h}\)：信道频率响应

LS 估计：

若 \(\mathbf{X}_p\) 是对角矩阵（OFDM 系统）：

逐元素： \(\(\hat{H}[k] = \frac{Y_p[k]}{X_p[k]}\)\)

数值例子 4-7：

假设 4 个导频子载波：

LS 估计：

应用 2：数据辅助信道估计¶

模型： 使用已知数据符号（如训练序列）

其中 \(\mathbf{x}\) 是已知的训练序列。

LS 估计：

若 \(\mathbf{x}\) 是向量：

⚠️ LS 的局限性¶

问题 1：噪声增强¶

分析：

若 \(|X_p[k]|\) 很小，噪声被放大！

MSE： \(\(\text{MSE}_{LS} = \sum_k \frac{\sigma^2}{|X_p[k]|^2}\)\)

问题 2：未利用信道统计特性¶

问题： LS 不使用信道的先验信息（如相关性）。

解决方案： LMMSE 估计（下一节）！

✏️ 练习题 4.3¶

基础题 4-5：

对于标量模型 \(y = h x + n\)，推导 LS 估计。

答案：

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J(h) = |y - hx|²
∂J/∂h* = -x*(y - hx) = 0
ĥ_LS = y/x

进阶题 4-6：

证明：当噪声是高斯分布时，LS 估计等价于 MLE。

提示：

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写出高斯似然函数
取对数
发现最大化似然 = 最小化平方误差

4.4 贝叶斯估计与 MMSE ⭐⭐⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

频率学派 vs 贝叶斯学派¶

频率学派（MLE/LS）： - 参数 \(\theta\) 是**确定但未知的** - 只有数据是随机的 - 估计量 \(\hat{\theta}\) 是随机变量

贝叶斯学派： - 参数 \(\theta\) 是**随机变量** - 有先验分布 \(p(\theta)\) - 估计基于后验分布 \(p(\theta|\mathbf{y})\)

贝叶斯公式 ⭐⭐⭐¶

各项含义：

📐 贝叶斯估计器¶

问题：如何从后验分布得到点估计？¶

答案： 定义代价函数，最小化期望代价！

定义 4-9（贝叶斯估计）：

其中 \(C(\cdot, \cdot)\) 是代价函数。

常见代价函数¶

1. 平方误差代价： \(C(\hat{\theta}, \theta) = |\hat{\theta} - \theta|^2\)

最优估计： \(\hat{\theta} = E[\theta|\mathbf{y}]\)（后验均值）

这就是**MMSE 估计**！

2. 均匀代价： \(\(C(\hat{\theta}, \theta) = \begin{cases} 0 & |\hat{\theta}-\theta| < \epsilon \\ 1 & \text{otherwise} \end{cases}\)\)

最优估计： \(\hat{\theta} = \arg\max p(\theta|\mathbf{y})\)（后验众数）

这就是**MAP 估计**！

🔧 MMSE 估计¶

定义¶

关键性质 ⭐⭐⭐¶

定理 4-2：MMSE 估计最小化 MSE

证明：

令 \(\hat{\theta} = E[\theta|\mathbf{y}] + \delta\)

交叉项： \(\(E[E[\theta|\mathbf{y}] - \theta | \mathbf{y}] = E[\theta|\mathbf{y}] - E[\theta|\mathbf{y}] = 0\)\)

所以： \(\(E[|\hat{\theta} - \theta|^2 | \mathbf{y}] = E[|E[\theta|\mathbf{y}] - \theta|^2 | \mathbf{y}] + |\delta|^2\)\)

当且仅当 \(\delta = 0\) 时最小！✅

📝 高斯 - 高斯模型 ⭐⭐⭐⭐⭐¶

问题：如何计算 MMSE 估计？¶

难点： 需要计算后验均值 \(E[\theta|\mathbf{y}]\)，通常涉及复杂积分。

解决方案： 高斯 - 高斯模型有闭式解！

模型：

• 先验：\(\theta \sim \mathcal{N}(0, \sigma_\theta^2)\)
• 似然：\(\mathbf{y}|\theta \sim \mathcal{N}(\theta \mathbf{1}, \sigma_n^2 \mathbf{I})\)

（为简化，考虑标量 \(\theta\)，向量观测 \(\mathbf{y}\)）

定理 4-3（高斯 - 高斯后验）：

后验分布仍是高斯： \(\(\theta|\mathbf{y} \sim \mathcal{N}(\mu_{post}, \sigma_{post}^2)\)\)

其中：

MMSE 估计：

其中 \(\bar{y} = \frac{1}{N}\sum y_i\)。

物理解释：

其中权重： \(\(w = \frac{\sigma_\theta^2}{\sigma_\theta^2 + \sigma_n^2/N}\)\)

极端情况：

📡 在通信中的应用 ⭐⭐⭐⭐⭐¶

应用：LMMSE 信道估计¶

模型： \(\(\mathbf{y} = \mathbf{H}\mathbf{x} + \mathbf{n}\)\)

假设： - \(\mathbf{h} \sim \mathcal{CN}(\mathbf{0}, \mathbf{R}_{hh})\)（信道先验） - \(\mathbf{n} \sim \mathcal{CN}(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I})\)（噪声）

LMMSE 估计：

推导（线性 MMSE）：

假设线性估计：\(\hat{\mathbf{h}} = \mathbf{W}\mathbf{y}\)

MSE 矩阵： \(\(\mathbf{E} = E[(\mathbf{h} - \mathbf{W}\mathbf{y})(\mathbf{h} - \mathbf{W}\mathbf{y})^H]\)\)

迹 MSE： \(\(J(\mathbf{W}) = \text{tr}(\mathbf{E})\)\)

展开： \(\(\begin{aligned} J(\mathbf{W}) &= \text{tr}(E[\mathbf{h}\mathbf{h}^H] - E[\mathbf{h}\mathbf{y}^H]\mathbf{W}^H - \mathbf{W}E[\mathbf{y}\mathbf{h}^H] + \mathbf{W}E[\mathbf{y}\mathbf{y}^H]\mathbf{W}^H) \\ &= \text{tr}(\mathbf{R}_{hh} - \mathbf{R}_{hy}\mathbf{W}^H - \mathbf{W}\mathbf{R}_{yh} + \mathbf{W}\mathbf{R}_{yy}\mathbf{W}^H) \end{aligned}\)\)

求梯度： \(\(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^*} = -\mathbf{R}_{yh}^H + \mathbf{W}\mathbf{R}_{yy} = \mathbf{0}\)\)

代入： - \(\mathbf{R}_{hy} = E[\mathbf{h}\mathbf{y}^H] = \mathbf{R}_{hh}\) - \(\mathbf{R}_{yy} = E[\mathbf{y}\mathbf{y}^H] = \mathbf{R}_{hh} + \sigma^2 \mathbf{I}\)

与 LS 的比较：

性能比较：

LMMSE 总是优于或等于 LS！

📝 数值例子¶

例子 4-8：标量 LMMSE

模型： \(y = h + n\)

假设： - \(h \sim \mathcal{CN}(0, 1)\) - \(n \sim \mathcal{CN}(0, 0.1)\)

LMMSE 估计：

比较：

解释： LMMSE 向先验均值（0）收缩！

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "MMSE 估计总是无偏的"

纠正： MMSE 估计通常是有偏的！

例子： 上面的标量 LMMSE，\(E[\hat{h}] = 0.91 E[h] = 0 \neq h\)（对特定 \(h\)）

误区 2： "MMSE 需要知道精确的先验"

纠正： 可以使用经验贝叶斯方法，从数据估计先验参数。

误区 3： "LMMSE 总是比 LS 好"

纠正： 理论上是的，但实际中： - 若 \(\mathbf{R}_{hh}\) 不准确，性能下降 - 计算复杂度高 - 需要知道 \(\sigma^2\)

✏️ 练习题 4.4¶

基础题 4-7：

先验 \(\theta \sim \mathcal{N}(0, 4)\)，观测 \(y|\theta \sim \mathcal{N}(\theta, 1)\)，观测值 \(y=3\)。

计算 MMSE 估计。

答案：

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σ_θ² = 4, σ_n² = 1
w = σ_θ²/(σ_θ² + σ_n²) = 4/5 = 0.8
θ̂_MMSE = 0.8 × 3 = 2.4

进阶题 4-8：

推导向量 LMMSE 估计的 MSE 矩阵。

答案：

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MSE = E[(h-ĥ)(h-ĥ)ᴴ]
    = R_hh - R_hh(R_hh + σ²I)⁻¹R_hh
    = (R_hh⁻¹ + (1/σ²)I)⁻¹

📌 本章小结¶

关键公式速查¶

估计器比较¶

与后续章节的联系¶

• 第 9 章（信道估计）： 直接应用 LS 和 LMMSE
• 第 10 章（均衡）： MMSE 均衡器推导
• 第 11 章（解调）： MAP 检测

🎓 本章完成检查¶

在完成第 5 章之前，确保你能：

• 解释无偏性、一致性、有效性的含义
• 推导 MSE 分解公式
• 推导高斯均值的 MLE
• 推导 LS 估计的闭式解
• 解释 LS 的几何意义
• 说明贝叶斯估计与频率学派的区别
• 推导高斯 - 高斯模型的 MMSE 估计
• 推导 LMMSE 信道估计公式

全部掌握？ → 继续学习 第 5 章 检测理论

还有疑问？ → 重读本章节，或做更多练习题

第 4 章 结束