第 5 章 检测理论¶

本章预计学习时间： 3 小时
前置知识： 第 1 章（概率论）、第 4 章（估计理论）
后续依赖： 第 11 章（解调与软信息）、第 12 章（信道解码）

📌 本章目标¶

学完本章后，你将能够：

1. 理解 假设检验的基本概念
2. 推导 最大后验概率检测（MAP）
3. 推导 最大似然检测（ML）
4. 理解 最小均方误差检测准则
5. 应用 检测理论设计 QPSK/16QAM 解调器

5.1 假设检验基础¶

🎯 基础概念（零基础友好）¶

什么是检测问题？¶

生活中的例子：

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10

场景：医生要判断病人是否患病

已知：
- 病人的化验结果 y
- 健康人的化验结果分布 p(y|健康)
- 患病者的化验结果分布 p(y|患病)

问题：根据 y 判断病人是健康还是患病？

这就是检测问题！

通信中的例子：

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10

场景：接收机要判断发送的符号

已知：
- 接收信号 y
- 发送 0 时的接收分布 p(y|0)
- 发送 1 时的接收分布 p(y|1)

问题：根据 y 判断发送的是 0 还是 1？

这就是数字通信的检测问题！

检测 vs 估计¶

例子： - 检测：发送的是 QPSK 的哪个星座点？（4 个离散可能） - 估计：信道增益 h 是多少？（连续值）

📐 数学描述¶

二元假设检验¶

定义 5-1（二元假设检验）：

目标： 根据观测 \(y\) 判断哪个假设成立。

通信解释：

多元假设检验¶

定义：

通信例子： QPSK 调制有 4 个假设（\(M=4\)）

📊 判决规则与性能指标¶

判决规则¶

定义 5-2（判决规则）：

判决规则是一个函数： \(\(\delta: \mathcal{Y} \rightarrow \{0, 1, ..., M-1\}\)\)

解释： 对每个观测 \(y\)，指定一个假设。

性能指标¶

二元假设检验：

概率定义：

关系： \(\(P_D + P_M = 1\)\)

🔧 似然比检验（LRT）¶

定义¶

定义 5-3（似然比）：

定义 5-4（似然比检验）：

其中 \(\eta\) 是门限。

解释： - 若 \(\Lambda(y) > \eta\)：判为 \(\mathcal{H}_1\) - 若 \(\Lambda(y) < \eta\)：判为 \(\mathcal{H}_0\)

对数似然比（LLR）¶

定义： \(\(LLR(y) = \log \Lambda(y) = \log \frac{p(y|\mathcal{H}_1)}{p(y|\mathcal{H}_0)}\)\)

检验规则： \(\(LLR(y) \underset{\mathcal{H}_0}{\overset{\mathcal{H}_1}{\gtrless}} \log \eta\)\)

优点： - 乘法变除法，便于计算 - 指数变线性，简化公式

✏️ 练习题 5.1¶

基础题 5-1：

二元通信系统： - \(\mathcal{H}_0\): 发送 0，\(y \sim \mathcal{N}(0, 1)\) - \(\mathcal{H}_1\): 发送 1，\(y \sim \mathcal{N}(2, 1)\)

写出似然比 \(\Lambda(y)\)。

答案：

1
2
3
4
5
6

p(y|H₀) = (1/√(2π)) exp(-y²/2)
p(y|H₁) = (1/√(2π)) exp(-(y-2)²/2)

Λ(y) = p(y|H₁)/p(y|H₀)
     = exp(-(y-2)²/2 + y²/2)
     = exp(2y - 2)

5.2 最大后验概率检测（MAP）⭐⭐⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

核心思想¶

问题： 如何选择门限 \(\eta\)？

MAP 准则： 选择使**后验概率最大**的假设。

直观理解：

看到观测 \(y\) 后，哪个假设最可能是真的？

📐 数学推导¶

MAP 判决规则¶

推导：

用贝叶斯公式： \(\(P(\mathcal{H}_i | y) = \frac{p(y|\mathcal{H}_i) P(\mathcal{H}_i)}{p(y)}\)\)

由于 \(p(y)\) 与 \(i\) 无关： \(\(\hat{i}_{MAP} = \arg\max_{i} p(y|\mathcal{H}_i) P(\mathcal{H}_i)\)\)

二元情况：

对数形式：

📝 高斯信道下的 MAP¶

模型¶

假设： \(\(\begin{cases} \mathcal{H}_0: y = x_0 + n \\ \mathcal{H}_1: y = x_1 + n \end{cases}\)\)

其中 \(n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)。

似然函数¶

MAP 推导 ⭐⭐⭐¶

步骤 1：写出 MAP 规则

步骤 2：代入高斯分布

步骤 3：取对数

步骤 4：展开平方项

步骤 5：整理

步骤 6：解出 \(y\) 的判决规则

📡 特殊情况：等概发送¶

等概假设¶

假设： \(P(\mathcal{H}_0) = P(\mathcal{H}_1) = 0.5\)

MAP 规则简化：

等能量星座¶

若 \(|x_0|^2 = |x_1|^2\)（如 BPSK：\(x_0=+A, x_1=-A\)）

规则进一步简化：

BPSK 例子：

\(x_0 = +A, x_1 = -A\)

几何解释：

1
2
3
4
5
6
7
8

         Im
          ↑
          │
    H₁ ←  │  → H₀
    (-A)  │  (+A)
──────────┼────────→ Re
          │
          │

判决边界： 虚轴（Re{y} = 0）

• Re{y} > 0：判为 \(+A\)
• Re{y} < 0：判为 \(-A\)

📊 错误概率分析¶

BPSK 的错误概率¶

模型： \(y = x + n\)，\(x \in \{+A, -A\}\)

判决规则： \(\text{Re}\{y\} \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} 0\)

错误概率：

由于对称性： \(\(P_e = P(\text{Re}\{y\} < 0 | H_0)\)\)

计算：

给定 \(H_0\)（发送 \(+A\)）： \(\(y = A + n, \quad n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)\)

错误概率：

用 SNR 表示：

信号能量 \(E_s = A^2\)

其中 \(N_0 = 2\sigma^2\)（双边功率谱密度）。

📡 在通信中的应用 ⭐⭐⭐⭐⭐¶

应用 1：QPSK 解调¶

星座： \(\(\mathcal{S} = \left\{\frac{A}{\sqrt{2}}(\pm 1 \pm j)\right\}\)\)

比特映射（格雷编码）：

MAP 解调：

等概时： \(\(\hat{s} = \arg\min_{s_i \in \mathcal{S}} |y - s_i|^2\)\)

逐比特判决（格雷编码）：

错误概率：

高 SNR 近似： \(\(P_e \approx 2Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\)\)

应用 2：16QAM 解调¶

星座： 4×4 网格

格雷编码逐比特判决：

令 \(\tilde{y} = y/h\)（信道补偿后），\(\tilde{y}_I = \text{Re}\{\tilde{y}\}\)

比特 b₀（MSB，实部）：

其中 \(d\) 是星座点间距。

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "MAP 和 ML 是一样的"

纠正： 仅当等概发送时相同！

若 \(P(H_0) \neq P(H_1)\)，MAP 会偏向先验概率大的假设。

误区 2： "MAP 总是最小化错误概率"

纠正： MAP 最小化**平均**错误概率。若不同错误的代价不同，需要用贝叶斯风险准则。

误区 3： "错误概率公式对所有调制都适用"

纠正： BPSK 的 \(P_e\) 公式最简单。QPSK、16QAM 有不同公式（但都可用 Q 函数表示）。

✏️ 练习题 5.2¶

基础题 5-2：

BPSK 系统，\(E_b/N_0 = 10\) dB。计算错误概率。

答案：

1
2
3
4

E_b/N_0 = 10 dB = 10（线性）
P_e = Q(√(2×10)) = Q(√20) = Q(4.47)

查 Q 函数表：Q(4.47) ≈ 3.9×10⁻⁶

进阶题 5-3：

推导非等概 BPSK 的 MAP 判决规则。

假设 \(P(H_0) = 0.7\)，\(P(H_1) = 0.3\)。

答案：

1
2
3
4
5
6

Re{y} ≷ (σ²/2) log(P(H₀)/P(H₁))
      = (σ²/2) log(0.7/0.3)
      = (σ²/2) log(2.33)
      ≈ 0.42 σ²

判决门限向 H₁ 偏移（因为 H₀ 先验概率大）

5.3 最大似然检测（ML）⭐⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

ML vs MAP¶

MAP： \(\hat{i} = \arg\max_i p(y|\mathcal{H}_i) P(\mathcal{H}_i)\)

ML： \(\hat{i} = \arg\max_i p(y|\mathcal{H}_i)\)

关系： - 若 \(P(\mathcal{H}_i)\) 都相等 → MAP = ML - 若 \(P(\mathcal{H}_i)\) 不相等 → MAP ≠ ML

实际中： 通常假设等概发送，所以 MAP = ML。

📐 高斯信道下的 ML¶

模型¶

\(x_i \in \{x_0, x_1, ..., x_{M-1}\}\)（星座点）

ML 推导¶

步骤 1：写出 ML 规则

步骤 2：代入高斯分布

步骤 3：取对数

步骤 4：去掉常数项

结论：

ML 检测 = 最小距离检测！

📊 几何解释¶

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13

         Im
          ↑
          │    × x₂
          │   / \
          │  /   \
          │ /     \
          │• y     × x₃
          │ \     /
          │  \   /
          │   \ /
          │    × x₁
          │
──────────┼────────→ Re

规则： 选择距离 \(y\) 最近的星座点！

判决区域： Voronoi 区域

📡 M 元检测¶

一般公式¶

M 元星座： \(\mathcal{S} = \{x_0, x_1, ..., x_{M-1}\}\)

ML 检测： \(\(\hat{x} = \arg\min_{x_i \in \mathcal{S}} |y - x_i|^2\)\)

错误概率（一般公式）¶

联合界（Union Bound）：

其中 \(d_{ij} = |x_i - x_j|\) 是欧氏距离。

高 SNR 近似：

其中： - \(d_{min}\)：最小欧氏距离 - \(N_{min}\)：距离为 \(d_{min}\) 的邻居数

📝 数值例子¶

例子 5-1：QPSK 的 ML 检测¶

星座： \(\mathcal{S} = \{\frac{1}{\sqrt{2}}(\pm 1 \pm j)\}\)

接收： \(y = 0.8 + 0.3j\)

计算距离：

判决：

最小距离是 0.175，对应 \(s_0\) 和 \(s_1\)。

问题： 距离相同，如何判决？

答案： 需要逐比特判决（用 LLR）。

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "ML 检测总是最优的"

纠正： ML 仅在等概发送时最优（=MAP）。非等概时，MAP 更好。

误区 2： "最小距离检测很简单"

纠正： 对于大星座（如 256QAM），需要高效算法（如球形解码）。

误区 3： "错误概率公式精确"

纠正： 联合界是上界，高 SNR 近似在低 SNR 时不准确。

✏️ 练习题 5.3¶

基础题 5-4：

8PSK 星座，相邻星座点角度差 45°。若 \(E_s/N_0 = 15\) dB，用联合界估计错误概率。

答案：

1
2
3
4

d_min² = 2E_s(1 - cos(45°)) = 2E_s(1 - 0.707) = 0.586E_s
E_s/N₀ = 15 dB = 31.6（线性）

P_e ≤ 2 × Q(√(0.586 × 31.6)) = 2 × Q(4.3) ≈ 2 × 8.5×10⁻⁶ = 1.7×10⁻⁵

5.4 最小均方误差准则¶

🎯 基础概念¶

从估计到检测¶

检测问题可以看作估计问题：

估计发送符号 \(x\)，然后量化到最近的星座点。

MMSE 检测器¶

定义：

对于离散星座：

📐 与 MAP 的关系¶

定理¶

对于离散星座，MMSE 估计后量化 = MAP 检测。

证明思路：

量化到最近星座点： \(\(\hat{x} = \arg\min_{x_j} |\hat{x}_{MMSE} - x_j|\)\)

可以证明这等价于 MAP。

📡 应用：软信息生成¶

问题：解码器需要软输入¶

硬输出： 直接判决比特（0 或 1）

软输出： 提供可靠性信息（LLR）

LLR 计算¶

定义：

用贝叶斯公式：

等概时： \(\(LLR(b_k) = \log \frac{P(y|b_k=0)}{P(y|b_k=1)}\)\)

高斯信道：

Max-Log 近似：

✏️ 练习题 5.4¶

基础题 5-5：

BPSK，\(y = 0.5\)，\(\sigma^2 = 0.1\)。计算 LLR。

答案：

1
2
3
4
5
6
7
8

x₀ = +1, x₁ = -1

LLR = log(p(y|0)/p(y|1))
    = (|y-x₁|² - |y-x₀|²)/σ²
    = (|0.5+1|² - |0.5-1|²)/0.1
    = (2.25 - 0.25)/0.1 = 20

LLR > 0 → 判为 0

📌 本章小结¶

关键公式速查¶

检测器比较¶

与后续章节的联系¶

• 第 11 章（解调）： 详细推导 QPSK/16QAM 的 LLR 计算
• 第 12 章（解码）： 使用 LLR 作为软输入解码

🎓 本章完成检查¶

在完成第 6 章之前，确保你能：

• 解释假设检验的基本概念
• 推导 MAP 检测规则
• 推导 ML 检测规则
• 说明 ML = 最小距离检测
• 计算 BPSK 的错误概率
• 解释 LLR 的含义
• 推导 Max-Log 近似
• 说明 MAP、ML、MMSE 的关系

全部掌握？ → 继续学习 第 6 章 信号空间

还有疑问？ → 重读本章节，或做更多练习题

第 5 章 结束