第 6 章 信号空间表示¶

本章预计学习时间： 3 小时
前置知识： 第 1 章（概率论）、第 3 章（线性代数）、第 5 章（检测理论）
后续依赖： 第 7 章（无线信道）、第 11 章（解调）

📌 本章目标¶

学完本章后，你将能够：

1. 理解 信号空间的几何表示方法
2. 掌握 基函数与信号展开的概念
3. 计算 星座点之间的欧氏距离
4. 推导 匹配滤波器的最优性
5. 应用 信号空间分析 QPSK/16QAM 调制

6.1 基函数与信号展开¶

🎯 基础概念（零基础友好）¶

为什么要用信号空间？¶

问题： 如何比较不同调制方式的性能？

例子 6-1：BPSK vs QPSK

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BPSK：每符号 1 比特，星座点 2 个
QPSK：每符号 2 比特，星座点 4 个

问题：哪个性能更好？（错误概率更低）

如何公平比较？

答案： 用信号空间表示，在相同维度下比较！

直观理解：从向量到信号¶

回顾（线性代数）：

任意向量 \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\) 可以用基向量展开：

其中 \(\mathbf{e}_i\) 是标准正交基。

推广到信号：

任意信号 \(s(t)\) 可以用基函数展开：

其中 \(\phi_i(t)\) 是正交基函数。

关键理解：

信号 = 无限维向量
信号空间 = 向量空间的推广

📐 数学定义¶

正交基函数¶

定义 6-1（正交性）：

两个函数 \(\phi_1(t)\) 和 \(\phi_2(t)\) 正交，如果：

定义 6-2（标准正交基）：

一组函数 \(\{\phi_1(t), ..., \phi_N(t)\}\) 是标准正交基，如果：

信号展开¶

定理 6-1（Gram-Schmidt 正交化）：

任意 \(M\) 个信号 \(\{s_1(t), ..., s_M(t)\}\) 可以用 \(N \leq M\) 个标准正交基函数表示：

其中系数： \(\(s_{mn} = \int_{-\infty}^{\infty} s_m(t) \phi_n^*(t) dt\)\)

几何解释：

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        φ₂(t)
          ↑
          │
    s₂ = (s₂₁, s₂₂)
          │
          │     s₁ = (s₁₁, s₁₂)
          │    /
          │   /
          │  /
          │ /
          └──────────→ φ₁(t)

每个信号 \(s_m\) 对应空间中的一个点（向量）！

📝 数值例子¶

例子 6-2：BPSK 的信号空间¶

信号： \(\(s_1(t) = A \cos(2\pi f_c t), \quad 0 \leq t < T\)\) \(\(s_2(t) = -A \cos(2\pi f_c t), \quad 0 \leq t < T\)\)

步骤 1：选择基函数

令： \(\(\phi_1(t) = \sqrt{\frac{2}{T}} \cos(2\pi f_c t), \quad 0 \leq t < T\)\)

验证归一化： \(\(\int_0^T |\phi_1(t)|^2 dt = \frac{2}{T} \int_0^T \cos^2(2\pi f_c t) dt = 1\)\)

（假设 \(f_c T\) 是整数）

步骤 2：计算系数

信号空间表示：

几何图形：

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         s₁
    ←────•────→ s₂
        原点

一维空间，两个点关于原点对称。

例子 6-3：QPSK 的信号空间¶

信号： \(\(s_m(t) = A \cos(2\pi f_c t + \theta_m), \quad \theta_m \in \{45°, 135°, 225°, 315°\}\)\)

步骤 1：选择基函数

验证正交： \(\(\int_0^T \phi_1(t) \phi_2(t) dt = -\frac{2}{T} \int_0^T \cos(2\pi f_c t) \sin(2\pi f_c t) dt = 0\)\)

步骤 2：展开信号

利用 \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta\)：

信号空间表示：

星座图：

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         φ₂(t)
          ↑
    s₂(135°) │ s₁(45°)
      ×      │      ×
             │
─────────────┼──────────→ φ₁(t)
             │
      ×      │      ×
    s₃(225°) │ s₄(315°)
          ↓

二维空间，4 个点均匀分布在圆上。

📡 在通信中的应用¶

应用 1：调制方案比较¶

问题： BPSK 和 QPSK 哪个性能更好？

分析：

若功率相同： QPSK 的 \(d_{min}\) 与 BPSK 相同，但频谱效率翻倍！

应用 2：功率计算¶

信号能量：

平均功率： \(\(P = \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M E_s = \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M \|\mathbf{s}_m\|^2\)\)

✏️ 练习题 6.1¶

基础题 6-1：

验证 \(\phi_1(t) = \sqrt{\frac{2}{T}} \cos(2\pi f_c t)\) 和 \(\phi_2(t) = -\sqrt{\frac{2}{T}} \sin(2\pi f_c t)\) 在 \([0, T]\) 上正交。

答案：

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∫₀ᵀ φ₁(t)φ₂(t)dt = -(2/T)∫₀ᵀ cos(2πf_ct)sin(2πf_ct)dt
                 = -(1/T)∫₀ᵀ sin(4πf_ct)dt
                 = -(1/T)[-cos(4πf_ct)/(4πf_c)]₀ᵀ
                 = 0  （假设 f_cT 是整数）✓

进阶题 6-2：

8PSK 调制的信号空间表示是什么？需要几个基函数？

答案：

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8PSK：8 个相位，等幅

需要 2 个基函数（与 QPSK 相同）：
φ₁(t) = √(2/T)cos(2πf_ct)
φ₂(t) = -√(2/T)sin(2πf_ct)

星座点：(A√(T/2)cosθ_m, A√(T/2)sinθ_m)
θ_m = 45°×(m-1), m=1,...,8

6.2 星座图与欧氏距离 ⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

什么是星座图？¶

定义： 星座图是信号空间中标记所有可能信号点的图形。

用途： - 直观显示调制方案 - 计算最小距离 - 分析错误概率

📐 欧氏距离与错误概率¶

成对错误概率¶

问题： 发送 \(s_i\)，错误判决为 \(s_j\) 的概率？

定理 6-2（成对错误概率）：

其中 \(d_{ij} = \|\mathbf{s}_i - \mathbf{s}_j\|\) 是欧氏距离。

推导：

接收信号： \(\mathbf{y} = \mathbf{s}_i + \mathbf{n}\)，\(\mathbf{n} \sim \mathcal{CN}(0, N_0\mathbf{I})\)

ML 检测： \(\hat{s} = \arg\min_k \|\mathbf{y} - \mathbf{s}_k\|^2\)

错误条件： \(\|\mathbf{y} - \mathbf{s}_j\|^2 < \|\mathbf{y} - \mathbf{s}_i\|^2\)

展开：

令 \(d_{ij} = \|\mathbf{s}_i - \mathbf{s}_j\|\)，\(\mathbf{u} = \frac{\mathbf{s}_i - \mathbf{s}_j}{d_{ij}}\)（单位向量）

噪声投影： \(n_p = \text{Re}\{\mathbf{n}^H\mathbf{u}\} \sim \mathcal{N}(0, N_0/2)\)

最小距离与联合界¶

定义： 最小欧氏距离 \(\(d_{min} = \min_{i \neq j} \|\mathbf{s}_i - \mathbf{s}_j\|\)\)

联合界（Union Bound）：

高 SNR 近似：

其中 \(N_{min}\) 是距离为 \(d_{min}\) 的邻居数。

📝 常见调制星座¶

1. BPSK¶

星座： \(\mathcal{S} = \{+\sqrt{E_b}, -\sqrt{E_b}\}\)

最小距离： \(d_{min} = 2\sqrt{E_b}\)

错误概率： \(\(P_e = Q\left(\sqrt{\frac{4E_b}{2N_0}}\right) = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\)\)

2. QPSK¶

星座： \(\mathcal{S} = \{\sqrt{E_s}(\pm 1 \pm j)/\sqrt{2}\}\)

最小距离： \(d_{min} = \sqrt{2E_s}\)

错误概率： \(\(P_e = 2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{2N_0}}\right) - Q^2\left(\sqrt{\frac{2E_s}{2N_0}}\right) \approx 2Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)\)\)

与 BPSK 的比较：

若 \(E_b\) 相同（每比特能量）： - QPSK: \(E_s = 2E_b\) - \(P_e^{QPSK} \approx 2Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) = 2P_e^{BPSK}\)

结论： QPSK 与 BPSK 有相同的误比特率性能，但频谱效率翻倍！

3. 16QAM¶

星座： 4×4 网格

最小距离： \(d_{min} = d\)

平均能量： \(\(E_s = \frac{1}{16} \sum_{m=1}^{16} \|\mathbf{s}_m\|^2 = \frac{10d^2}{4} = 2.5d^2\)\)

用 \(E_s\) 表示： \(d_{min} = \sqrt{\frac{2E_s}{5}}\)

错误概率（联合界）：

用 \(E_b\) 表示（\(E_s = 4E_b\)）： \(\(P_e \approx 3Q\left(\sqrt{\frac{4E_b}{5N_0}}\right)\)\)

📊 调制方案比较¶

规律： 高阶调制频谱效率高，但需要更高 SNR！

✏️ 练习题 6.2¶

基础题 6-3：

计算 8PSK 的最小距离（用 \(E_s\) 表示）。

答案：

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8PSK：8 个点均匀分布在半径为 √E_s 的圆上
相邻点角度差：45°

d_min² = 2E_s(1 - cos(45°)) = 2E_s(1 - √2/2) ≈ 0.586E_s
d_min = √(0.586E_s) ≈ 0.765√E_s

进阶题 6-4：

比较 16QAM 和 16PSK 的性能（相同 \(E_s\)）。

提示：

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16QAM: d_min² = 0.4E_s
16PSK: d_min² = 2E_s(1 - cos(22.5°)) ≈ 0.15E_s

答案：

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16QAM 的 d_min 更大，性能更好！

16QAM: P_e ≈ 3Q(√(0.2E_b/N₀))
16PSK: P_e ≈ 4Q(√(0.038E_b/N₀))

16QAM 优于 16PSK 约 7 dB

6.3 匹配滤波器 ⭐⭐⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

问题：如何最优检测？¶

场景： \(\(y(t) = s(t) + n(t)\)\)

其中 \(s(t)\) 是已知信号，\(n(t)\) 是 AWGN。

问题： 如何设计滤波器 \(h(t)\)，使输出信噪比最大？

答案： 匹配滤波器！

📐 匹配滤波器定义¶

定义 6-3（匹配滤波器）：

对于信号 \(s(t)\)（持续时间 \([0, T]\)），匹配滤波器为：

解释： - 时间反转：\(s(-t)\) - 时移 \(T\)：使滤波器因果 - 共轭：\(s^*\)（复信号）

图形表示：

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s(t):     ____/‾‾‾\____
          0           T

h(t):     ____/‾‾‾\____
          0           T
      (时间反转 + 时移)

🔧 输出信噪比¶

定理 6-3（匹配滤波器的最优性）¶

匹配滤波器在 \(t=T\) 时刻的输出信噪比为：

这是所有线性滤波器中最大的！

推导 ⭐⭐⭐⭐⭐¶

步骤 1：滤波器输出

在 \(t=T\) 时刻： \(\(y(T) = \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) h(T-\tau) d\tau + n_{out}\)\)

步骤 2：信号分量

代入 \(h(t) = s^*(T-t)\)： \(\(s_{out}(T) = \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) s^*(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} |s(\tau)|^2 d\tau = E_s\)\)

步骤 3：噪声功率

输出噪声功率： \(\(E[|n_{out}|^2] = E\left[\left|\int_{-\infty}^{\infty} n(\tau) h(T-\tau) d\tau\right|^2\right]\)\)

利用白噪声性质 \(E[n(t)n^*(t')] = N_0\delta(t-t')\)：

步骤 4：信噪比

考虑复基带： 实际 SNR 是上式的 2 倍：

📊 施瓦茨不等式证明¶

一般性证明¶

问题： 证明匹配滤波器是最优的。

任意滤波器 \(h(t)\)：

施瓦茨不等式：

等号成立当且仅当 \(f(\tau) = c \cdot g(\tau)\)。

应用：

令 \(f(\tau) = s(\tau)\)，\(g(\tau) = h(T-\tau)\)：

SNR 上界：

等号条件：

取 \(c=1\)，得到匹配滤波器！✅

📡 在通信中的应用¶

应用 1：相关接收机¶

匹配滤波器等效于相关器：

实现：

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y(t) → [×] → [∫] → y(T)
       ↑
     s*(t)

应用 2：多信号检测¶

M 元信号： \(\{s_1(t), ..., s_M(t)\}\)

匹配滤波器组：

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         h₁(t) = s₁*(T-t)
        ↗
y(t) →  h₂(t) = s₂*(T-t)  →  判决
        ↘
         h_M(t) = s_M*(T-t)

判决规则： 选择输出最大的支路。

应用 3：脉冲成形¶

发射端： 脉冲成形滤波器 \(g(t)\)
接收端： 匹配滤波器 \(g^*(-t)\)

总响应： \(p(t) = g(t) * g^*(-t)\)（自相关函数）

性质： \(p(t)\) 在 \(t=0\) 有最大值。

📝 数值例子¶

例子 6-4：矩形脉冲的匹配滤波器¶

信号： \(\(s(t) = \begin{cases} A & 0 \leq t < T \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)\)

匹配滤波器： \(\(h(t) = s^*(T-t) = \begin{cases} A & 0 \leq t < T \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)\)

（矩形脉冲的匹配滤波器仍是矩形！）

输出信号：

这是两个矩形的卷积 = 三角形！

在 \(t=T\) 时刻： \(\(s_{out}(T) = A^2 T = E_s\)\)

验证 SNR： \(\(\text{SNR}_{out} = \frac{2E_s}{N_0} = \frac{2A^2 T}{N_0}\)\)

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "匹配滤波器最大化输出信号功率"

纠正： 匹配滤波器最大化**信噪比**，不是信号功率！

误区 2： "匹配滤波器总是最优的"

纠正： 仅在 AWGN 信道下最优。若信道有色噪声，需要白化滤波器 + 匹配滤波器。

误区 3： "匹配滤波器输出在任意时刻都最大"

纠正： 仅在 \(t=T\) 时刻信噪比最大！

✏️ 练习题 6.3¶

基础题 6-5：

信号 \(s(t) = e^{-t}\)，\(0 \leq t < 1\)。写出匹配滤波器 \(h(t)\)。

答案：

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h(t) = s*(1-t) = e^{-(1-t)} = e^{t-1},  0 ≤ t < 1

进阶题 6-6：

证明：匹配滤波器等效于相关器。

提示：

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写出卷积积分
变量替换

答案：

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y(T) = ∫ s(τ)h(T-τ)dτ
     = ∫ s(τ)s*(τ)dτ  （代入 h(t)=s*(T-t)）
     = ∫ s(τ)s*(τ)dτ
     = <y(t), s(t)>  （内积）

📌 本章小结¶

关键公式速查¶

调制方案比较¶

与后续章节的联系¶

• 第 7 章（信道）： 信号空间在衰落信道中的分析
• 第 11 章（解调）： 匹配滤波器后的采样与判决

🎓 本章完成检查¶

在完成第 7 章之前，确保你能：

• 解释正交基函数的概念
• 用 Gram-Schmidt 方法展开信号
• 计算星座点之间的欧氏距离
• 推导成对错误概率公式
• 比较不同调制方案的性能
• 写出匹配滤波器的定义
• 推导匹配滤波器的输出 SNR
• 解释匹配滤波器与相关器的等效性

全部掌握？ → 继续学习 第 7 章 无线信道建模

还有疑问？ → 重读本章节，或做更多练习题

第 6 章 结束