第 7 章 无线信道建模¶

本章预计学习时间： 4 小时
前置知识： 第 1 章（概率论）、第 2 章（随机过程）、第 6 章（信号空间）
后续依赖： 第 9 章（信道估计）、第 10 章（均衡算法）

📌 本章目标¶

学完本章后，你将能够：

1. 理解 多径衰落的物理机制
2. 推导 多普勒频移的公式
3. 掌握 信道的统计特性（瑞利、莱斯分布）
4. 计算 相干带宽和相干时间
5. 应用 相关矩阵建模频域/时域信道

7.1 多径衰落模型¶

🎯 基础概念（零基础友好）¶

为什么无线信号会衰落？¶

直观例子：

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场景：你在房间里用手机打电话

发射：基站天线
接收：你的手机

信号传播路径：
1. 直射路径：基站 → 手机（直线）
2. 反射路径：基站 → 墙壁 → 手机
3. 绕射路径：基站 → 建筑物边缘 → 手机
4. 散射路径：基站 → 树叶 → 手机

结果： 多个版本的信号在不同时刻到达手机！

问题： 多个信号叠加会发生什么？

答案： 相长干涉 或 相消干涉！

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相长干涉：波峰 + 波峰 = 信号增强 (+)
相消干涉：波峰 + 波谷 = 信号减弱 (±)

这就是衰落！

多径传播的数学模型¶

定义 7-1（信道冲激响应）：

其中： - \(L\)：多径数量 - \(\alpha_l\)：第 \(l\) 条路径的幅度 - \(\phi_l\)：第 \(l\) 条路径的相位 - \(\tau_l\)：第 \(l\) 条路径的时延

物理解释：

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发射脉冲：δ(t)

接收信号：h(t) = α₀δ(t-τ₀) + α₁δ(t-τ₁) + ... + α_{L-1}δ(t-τ_{L-1})

        α₀  α₁      α₂
         ↓   ↓       ↓
h(t):   |   |       |
        |   |       |
────────┴───┴───────┴────→ t
       τ₀  τ₁      τ₂

每个多径是一个延迟的脉冲！

📐 频域响应¶

从时域到频域¶

傅里叶变换：

代入多径模型：

物理解释：

• \(H(f)\) 是复数（有幅度、有相位）
• 不同频率 \(f\) 有不同的增益
• 这就是**频率选择性衰落**！

频率选择性 vs 平坦衰落¶

定义 7-2（RMS 时延扩展）：

其中 \(\bar{\tau} = \frac{\sum_l \alpha_l^2 \tau_l}{\sum_l \alpha_l^2}\) 是平均时延。

定义 7-3（相干带宽）：

判断准则：

例子 7-1：

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典型城市环境：τ_rms = 1 μs

相干带宽：B_c ≈ 1/(5×1μs) = 200 kHz

LTE 系统：带宽 20 MHz >> 200 kHz
→ 频率选择性衰落！

OFDM 的作用：
将 20 MHz 分成 1200 个子载波，每个 15 kHz
15 kHz << 200 kHz
→ 每个子载波经历平坦衰落！

📊 抽头延迟线模型¶

离散时间模型¶

定义 7-4（抽头延迟线）：

其中 \(h_l\) 是第 \(l\) 个抽头的复增益。

典型模型（3GPP）：

EPA 模型参数：

📡 在通信中的应用¶

应用 1：OFDM 系统设计¶

问题： 如何对抗频率选择性衰落？

解决方案： OFDM

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高速数据流 → 串并转换 → N 个低速子载波

每个子载波带宽：Δf = 15 kHz
符号周期：T = 1/Δf ≈ 66.7 μs

添加循环前缀（CP）：
T_CP ≈ 4.7 μs > τ_rms (典型 1 μs)

结果：消除符号间干扰（ISI）！

应用 2：信道估计导频设计¶

问题： 如何估计频率选择性信道？

答案： 在频域插入导频！

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子载波：[Pilot] [Data] [Data] [Pilot] [Data] ...

导频间隔：Δf_pilot < B_c

若 B_c = 200 kHz，导频间隔可设为 100 kHz
LTE 中：每 6 个子载波一个导频（6×15 = 90 kHz）

✏️ 练习题 7.1¶

基础题 7-1：

两径信道：\(h(t) = \delta(t) + 0.5\delta(t - \tau)\)，\(\tau = 1 \mu s\)。

计算相干带宽。

答案：

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τ_rms ≈ τ/√2 = 1μs/1.414 = 0.707μs（近似）
B_c ≈ 1/(5τ_rms) = 1/(5×0.707μs) ≈ 283 kHz

进阶题 7-2：

推导两径信道的频域响应 \(H(f)\)，并找出频率选择性最深的点。

答案：

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H(f) = 1 + 0.5e^(-j2πfτ)
|H(f)|² = |1 + 0.5cos(2πfτ) - j0.5sin(2πfτ)|²
       = 1 + 0.25 + cos(2πfτ)
       = 1.25 + cos(2πfτ)

最小值：cos(2πfτ) = -1
f = (2k+1)/(2τ) = (2k+1)×500 kHz

在 500 kHz, 1500 kHz, ...处有深衰落

7.2 多普勒频移 ⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

为什么移动会产生频移？¶

直观例子：

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场景：救护车从你身边驶过

听到的声音：
- 靠近时：音调变高（频率升高）
- 远离时：音调变低（频率降低）

这就是多普勒效应！

通信中的多普勒：

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基站发射：f_c = 2 GHz

你的手机以 v = 30 m/s (108 km/h) 移动

接收频率：f_r = f_c + f_d

f_d 就是多普勒频移！

📐 多普勒频移公式¶

推导¶

场景：

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        基站
         •
         │
         │ v·cosθ
         ↓
    ─────•────→ 手机
         θ

速度分量： \(v_r = v \cos\theta\)（径向速度）

波长： \(\lambda = \frac{c}{f_c}\)

相位变化率： \(\(\frac{d\phi}{dt} = \frac{2\pi}{\lambda} v_r = \frac{2\pi f_c}{c} v \cos\theta\)\)

多普勒频移： \(\(\boxed{f_d = \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi}{dt} = \frac{v}{c} f_c \cos\theta}\)\)

最大多普勒频移¶

当 \(\cos\theta = 1\)（正对基站移动）：

数值例子 7-2：

📊 相干时间¶

定义 7-5（相干时间）¶

解释： 在 \(T_c\) 时间内，信道近似不变。

快衰落 vs 慢衰落¶

例子 7-3：

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LTE 系统：
- 载频 f_c = 2 GHz
- 车速 v = 120 km/h

f_d,max = (120/3.6)/3×10⁸ × 2×10⁹ = 222 Hz
T_c ≈ 0.423/222 ≈ 1.9 ms

LTE 符号周期：T_symbol ≈ 71.4 μs（含 CP）

71.4 μs << 1.9 ms
→ 慢衰落！

在一个符号周期内，信道可视为常数。

📡 时域相关函数¶

Jakes 模型¶

定义 7-6（时域自相关）：

其中 \(J_0(\cdot)\) 是第一类零阶贝塞尔函数。

贝塞尔函数性质：

图形表示：

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R_H(Δt)
  ↑
1 │\
  │ \
  │  \      过零点
  │   \    /
  │    \  /
0 │     \/
  │
  └──────────────→ Δt
         T_c

过零点： \(J_0(2\pi f_d T_c) = 0\)

第一个过零点：\(2\pi f_d T_c \approx 2.405\)

✏️ 练习题 7.2¶

基础题 7-3：

车载通信，\(f_c = 3.5\) GHz，\(v = 100\) km/h。计算最大多普勒频移。

答案：

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v = 100/3.6 = 27.8 m/s
f_d,max = (27.8/3×10⁸) × 3.5×10⁹ = 324 Hz

进阶题 7-4：

若要求 \(T_c > 10 T_{symbol}\)，对于 \(f_c = 2\) GHz，\(T_{symbol} = 100 \mu s\)，最大车速是多少？

答案：

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T_c > 10 × 100 μs = 1 ms
0.423/f_d > 1 ms
f_d < 423 Hz

f_d = (v/c)f_c
v < 423 × 3×10⁸ / 2×10⁹ = 63.5 m/s = 228 km/h

7.3 信道统计特性 ⭐⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

为什么信道是随机的？¶

原因：

1. 多径数量多：大量反射、散射
2. 相位随机：每条路径相位随机
3. 环境变化：物体移动、散射体变化

结论： 信道增益 \(h\) 是随机变量！

📊 瑞利衰落¶

无直射路径（NLOS）¶

场景： 城市环境，无直射路径

模型： 大量独立散射路径叠加

复信道增益： \(\(h = \sum_{l=1}^L \alpha_l e^{j\phi_l}\)\)

其中： - \(\alpha_l\)：各路径幅度 - \(\phi_l \sim U[0, 2\pi)\)：各路径相位（独立均匀分布）

中心极限定理：

当 \(L\) 很大时： \(\(h = h_I + j h_Q \sim \mathcal{CN}(0, \sigma_h^2)\)\)

其中 \(h_I, h_Q \sim \mathcal{N}(0, \sigma_h^2/2)\) 独立。

幅度分布：瑞利分布¶

定义 7-7（瑞利分布）：

信道幅度 \(|h|\) 服从瑞利分布：

统计特性：

功率归一化：

通常设 \(E[|h|^2] = 1\)，则 \(\sigma_h^2 = 0.5\)。

此时： \(\(f_{|h|}(r) = 2r e^{-r^2}, \quad r \geq 0\)\)

相位分布¶

相位： \(\angle h \sim U[0, 2\pi)\)

📊 莱斯衰落¶

有直射路径（LOS）¶

场景： 郊区、农村，存在直射路径

模型： 直射分量 + 多径分量

复信道增益： \(\(h = \underbrace{A e^{j\phi_0}}_{\text{直射}} + \underbrace{\sum_{l=1}^L \alpha_l e^{j\phi_l}}_{\text{多径}}\)\)

幅度分布：莱斯分布

定义 7-8（莱斯分布）：

其中 \(I_0(\cdot)\) 是修正贝塞尔函数。

K 因子：

特殊情况：

📝 数值例子¶

例子 7-4：瑞利衰落的深度¶

问题： 瑞利衰落信道中，信号幅度低于均值 10 dB 的概率？

计算：

均值：\(E[|h|] = \sigma_h \sqrt{\pi/2}\)

10 dB 以下：\(r < 0.1 \times E[|h|] = 0.1 \sigma_h \sqrt{\pi/2}\)

累积分布： \(\(P(|h| < r) = \int_0^r \frac{x}{\sigma_h^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma_h^2}} dx = 1 - e^{-\frac{r^2}{2\sigma_h^2}}\)\)

代入： \(\(P(|h| < 0.1 \sigma_h \sqrt{\pi/2}) = 1 - e^{-\frac{0.01 \cdot \pi/2}{2}} = 1 - e^{-0.00785} \approx 0.0078\)\)

结论： 约 0.78% 的时间信号衰落超过 10 dB！

📡 在通信中的应用¶

应用 1：链路预算¶

问题： 如何设计系统以应对衰落？

解决方案： 衰落余量

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接收功率 = 发射功率 - 路径损耗 - 阴影衰落 - 快衰落余量

快衰落余量：
- 瑞利衰落：20-30 dB
- 莱斯衰落（K=5）：10-15 dB

应用 2：分集技术¶

问题： 如何对抗深衰落？

答案： 分集！

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时间分集：在不同时刻发送相同数据
频率分集：在不同频率发送相同数据
空间分集：用多根天线发送/接收

原理：多个独立衰落路径同时深衰落的概率极低！

例子 7-5：接收分集

2 根接收天线，独立瑞利衰落。

单天线： \(P(|h| < \epsilon) = 1 - e^{-\epsilon^2/2\sigma^2} \approx \epsilon^2/2\sigma^2\)

双天线（最大比合并）： \(\(P(|h_1|^2 + |h_2|^2 < \epsilon^2) \approx (\epsilon^2/2\sigma^2)^2\)\)

改善： 概率从 \(\epsilon^2\) 降到 \(\epsilon^4\)！

✏️ 练习题 7.3¶

基础题 7-5：

瑞利衰落信道，\(E[|h|^2] = 1\)。计算 \(P(|h| < 0.1)\)。

答案：

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σ_h² = 0.5
P(|h| < 0.1) = 1 - e^(-0.1²/(2×0.5)) = 1 - e^(-0.01) ≈ 0.01

进阶题 7-6：

比较瑞利和莱斯（K=5）衰落的均值。

答案：

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瑞利：E[|h|] = σ_h√(π/2) = √(π/4) ≈ 0.886

莱斯（K=5）：
K = A²/(2σ_h²) = 5
设 2σ_h² = 1，则 A² = 5
E[|h|] ≈ √(A² + 2σ_h²) = √6 ≈ 2.45

莱斯衰落的均值更大（有直射分量）

7.4 相关矩阵建模 ⭐⭐⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

为什么要建模相关性？¶

问题： OFDM 系统中，相邻子载波的信道相关吗？

答案： 相关！

原因： 多径信道的频率选择性是连续的。

应用： - LMMSE 信道估计需要 \(R_{hh}\) - 预编码设计需要信道相关 - 系统性能分析需要统计模型

📐 频域相关矩阵¶

定义¶

定义 7-9（频域自相关）：

对于宽平稳信道，只与频率间隔 \(k\) 有关。

指数相关模型¶

模型 7-1（指数相关）：

其中： - \(\sigma_h^2\)：信道功率 - \(\rho\)：相关系数（\(0 \leq \rho \leq 1\)）

矩阵形式：

特殊结构： Toeplitz 矩阵

性质： - 共轭对称：\(R_{hh} = R_{hh}^H\) - 正定：\(R_{hh} \succ 0\) - 逆矩阵有闭式解

Jakes 频域相关模型¶

基于多径信道推导：

推导：

假设功率时延谱为指数衰减： \(\(P(\tau) = \frac{1}{\tau_{rms}} e^{-\tau/\tau_{rms}}, \quad \tau \geq 0\)\)

频域相关： \(\(R_{HH}(\Delta f) = \int_0^\infty P(\tau) e^{-j2\pi\Delta f \tau} d\tau = \frac{1}{1 + j2\pi\Delta f \cdot \tau_{rms}}\)\)

幅度： \(\(|R_{HH}(\Delta f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi\Delta f \cdot \tau_{rms})^2}}\)\)

数值例子 7-6：

\(\tau_{rms} = 1 \mu s\)，子载波间隔 \(\Delta f = 15 kHz\)。

相邻子载波： \(\(|R_{HH}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi \cdot 15\times10^3 \cdot 1\times10^{-6})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0.0089}} \approx 0.996\)\)

相隔 10 个子载波： \(\(|R_{HH}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi \cdot 150\times10^3 \cdot 1\times10^{-6})^2}} \approx 0.73\)\)

📊 时域相关矩阵¶

定义¶

定义 7-10（时域自相关）：

Jakes 时域模型¶

模型： \(\(R_H(\Delta t) = J_0(2\pi f_d \Delta t)\)\)

其中 \(f_d\) 是最大多普勒频移。

离散时间：

采样间隔 \(T_s\)：

📡 在 LMMSE 中的应用 ⭐⭐⭐⭐⭐¶

LMMSE 信道估计¶

回顾（第 4 章）：

关键： 需要知道 \(\mathbf{R}_{hh}\)！

实际中： 1. 离线计算典型信道的 \(R_{hh}\) 2. 存储为查找表 3. 在线选择最接近的模型

简化计算¶

问题： 矩阵求逆复杂度高 \(O(N^3)\)

解决方案： 利用 Toeplitz 结构

方法 1： Levinson-Durbin 算法 \(O(N^2)\)

方法 2： DFT 近似 \(O(N \log N)\)

DFT 近似：

对于循环 Toeplitz 矩阵： \(\(R_{hh} \approx F^H \Lambda F\)\)

其中 \(F\) 是 DFT 矩阵，\(\Lambda\) 是对角矩阵。

求逆简化： \(\((R_{hh} + \sigma^2 I)^{-1} \approx F^H (\Lambda + \sigma^2 I)^{-1} F\)\)

复杂度从 \(O(N^3)\) 降到 \(O(N \log N)\)！

✏️ 练习题 7.4¶

基础题 7-7：

2×2 相关矩阵 \(R = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \end{bmatrix}\)。计算特征值。

答案：

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det(R - λI) = (1-λ)² - 0.25 = 0
(1-λ)² = 0.25
1-λ = ±0.5
λ₁ = 0.5, λ₂ = 1.5

进阶题 7-8：

证明：指数相关矩阵的逆是三对角矩阵。

提示：

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利用 Toeplitz 矩阵的性质
或直接验证 R⁻¹R = I

答案：

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对于 R = [[1, ρ], [ρ*, 1]]
R⁻¹ = (1/(1-|ρ|²)) [[1, -ρ], [-ρ*, 1]]

对于更大的矩阵，逆矩阵保持三对角结构
这是指数相关模型的重要性质！

📌 本章小结¶

关键公式速查¶

典型参数值¶

与后续章节的联系¶

• 第 9 章（信道估计）： 直接用 \(R_{hh}\) 设计 LMMSE 估计器
• 第 10 章（均衡）： 频率选择性信道需要频域均衡

🎓 本章完成检查¶

在完成第 8 章之前，确保你能：

• 解释多径衰落的物理机制
• 推导频域响应公式
• 计算相干带宽和相干时间
• 说明瑞利分布和莱斯分布的区别
• 推导多普勒频移公式
• 解释 Jakes 模型
• 写出频域相关矩阵的表达式
• 说明 LMMSE 如何利用信道相关

全部掌握？ → 继续学习 第 8 章 噪声模型

还有疑问？ → 重读本章节，或做更多练习题

第 7 章 结束