第 8 章 噪声模型¶

本章预计学习时间： 2 小时
前置知识： 第 1 章（概率论）、第 2 章（随机过程）、第 7 章（无线信道）
后续依赖： 第 9 章（信道估计）、第 11 章（解调）

📌 本章目标¶

学完本章后，你将能够：

1. 理解 高斯白噪声（AWGN）的特性
2. 掌握 复高斯分布的性质
3. 推导 噪声方差的估计方法
4. 应用 噪声模型计算信噪比和错误概率

8.1 高斯白噪声（AWGN）¶

🎯 基础概念（零基础友好）¶

什么是噪声？¶

直观理解：

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场景：你在嘈杂的房间里打电话

期望信号：对方的声音
噪声：其他人的谈话声、空调声、车流声...

结果：你听到的是"信号 + 噪声"的混合

通信中的噪声：

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接收信号：y(t) = s(t) + n(t)

s(t)：期望信号（携带信息）
n(t)：噪声（干扰）

目标：从 y(t) 中恢复 s(t)

为什么是高斯分布？¶

原因 1：中心极限定理

噪声来源： - 热噪声（电子随机运动） - 散粒噪声（电子管） - 宇宙噪声 - 人为干扰

大量独立随机源叠加 → 高斯分布！

原因 2：数学可处理

高斯分布的性质： - 线性变换后仍是高斯 - 完全由均值和方差描述 - 有闭式解（便于分析）

📐 AWGN 的定义¶

高斯分布¶

定义 8-1（实高斯分布）：

记作：\(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)

性质：

白噪声¶

定义 8-2（白噪声）：

噪声 \(n(t)\) 是白的，如果其功率谱密度为常数：

自相关函数：

解释： - \(\delta(\tau)\)：狄拉克δ函数 - \(R_n(0) = \infty\)（理想化，实际有带宽限制） - \(R_n(\tau) = 0\)（\(\tau \neq 0\)）：不同时刻不相关

AWGN 完整定义¶

定义 8-3（AWGN）：

加性高斯白噪声（AWGN）满足： 1. 加性： \(y(t) = s(t) + n(t)\) 2. 高斯： 任意时刻 \(n(t) \sim \mathcal{N}(0, N_0/2)\) 3. 白： \(S_n(f) = N_0/2\)（常数）

📊 统计特性¶

时域特性¶

任意时刻 \(t_0\)： \(\(n(t_0) \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\)\)

其中 \(\sigma^2 = \frac{N_0}{2}\)（双边功率谱密度）。

多个时刻：

\((n(t_1), n(t_2), ..., n(t_k))\) 是联合高斯分布。

独立性： 若 \(t_i \neq t_j\)，则 \(n(t_i)\) 与 \(n(t_j)\) 独立（白噪声性质）。

频域特性¶

功率谱密度：

噪声功率：

理想白噪声：\(P_n = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{N_0}{2} df = \infty\)（非物理）

实际系统： 带宽限制 \(B\)

📝 数值例子¶

例子 8-1：热噪声计算¶

场景： 电阻 \(R\) 在温度 \(T\) 下的热噪声

奈奎斯特公式：

其中： - \(k = 1.38 \times 10^{-23}\) J/K（玻尔兹曼常数） - \(T\)：绝对温度（K） - \(B\)：带宽（Hz）

室温（T=300K），带宽 1 MHz：

等效噪声功率谱密度：

重要常数： 室温热噪声底 = -174 dBm/Hz

📡 在通信中的应用¶

应用 1：信噪比计算¶

定义：

分贝表示：

例子 8-2：

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接收信号功率：P_s = -80 dBm
带宽：B = 10 MHz
噪声底：N₀ = -174 dBm/Hz

噪声功率：P_n = -174 + 10log₁₀(10⁷) = -174 + 70 = -104 dBm

SNR = -80 - (-104) = 24 dB

应用 2：错误概率分析¶

BPSK 在 AWGN 信道：

数值例子 8-3：

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E_b/N₀ = 10 dB = 10（线性）

P_e = Q(√(2×10)) = Q(4.47) ≈ 3.9×10⁻⁶

即：每传输 25 万个比特，约有 1 个错误

✏️ 练习题 8.1¶

基础题 8-1：

带宽 20 MHz，计算 AWGN 功率（室温）。

答案：

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P_n = kTB = -174 dBm/Hz + 10log₁₀(20×10⁶)
    = -174 + 73 = -101 dBm

进阶题 8-2：

若要求 SNR ≥ 15 dB，接收功率至少是多少（B=10 MHz）？

答案：

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P_n = -174 + 10log₁₀(10⁷) = -104 dBm
SNR ≥ 15 dB

P_s ≥ P_n + 15 dB = -104 + 15 = -89 dBm

8.2 复高斯分布 ⭐⭐⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

为什么需要复高斯？¶

问题： 通信信号用复基带表示

噪声也必须是复数： \(\(n(t) = n_I(t) + j n_Q(t)\)\)

物理意义：

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实部 n_I(t)：同相分量（In-phase）
虚部 n_Q(t)：正交分量（Quadrature）

两者独立，都是实高斯噪声

📐 复高斯分布定义¶

定义¶

定义 8-4（复高斯随机变量）：

\(Z = X + jY\) 服从复高斯分布，如果： - \(X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma^2/2)\) - \(Y \sim \mathcal{N}(\mu_Y, \sigma^2/2)\) - \(X\) 和 \(Y\) 独立

记作： \(Z \sim \mathcal{CN}(\mu, \sigma^2)\)

其中 \(\mu = \mu_X + j\mu_Y\) 是复均值。

概率密度函数¶

PDF：

推导：

联合 PDF： \(\(f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y) = \frac{1}{2\pi(\sigma^2/2)} \exp\left(-\frac{(x-\mu_X)^2 + (y-\mu_Y)^2}{2(\sigma^2/2)}\right)\)\)

📊 重要性质¶

性质 1：矩¶

性质 2：幅度分布¶

定理： 若 \(Z \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)，则 \(|Z|\) 服从瑞利分布。

PDF： \(\(f_{|Z|}(r) = \frac{2r}{\sigma^2} e^{-r^2/\sigma^2}, \quad r \geq 0\)\)

推导：

极坐标变换： \(\(= \int_0^{2\pi} \int_0^r \frac{1}{\pi\sigma^2} e^{-\rho^2/\sigma^2} \rho d\rho d\theta\)\)

求导得 PDF： \(\(f_{|Z|}(r) = \frac{2r}{\sigma^2} e^{-r^2/\sigma^2} \quad \checkmark\)\)

性质 3：功率分布¶

定理： 若 \(Z \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)，则 \(|Z|^2\) 服从指数分布。

PDF： \(\(f_{|Z|^2}(p) = \frac{1}{\sigma^2} e^{-p/\sigma^2}, \quad p \geq 0\)\)

均值： \(\(E[|Z|^2] = \sigma^2\)\)

方差： \(\(\text{Var}(|Z|^2) = \sigma^4\)\)

性质 4：线性变换¶

定理： 若 \(Z \sim \mathcal{CN}(\mu, \sigma^2)\)，则 \(aZ + b \sim \mathcal{CN}(a\mu+b, |a|^2\sigma^2)\)。

📝 数值例子¶

例子 8-4：复噪声的生成¶

MATLAB/Python：

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% 生成复高斯噪声
sigma2 = 0.1;  % 方差
N = 1000;      % 样本数

n = sqrt(sigma2/2) * (randn(N,1) + 1j*randn(N,1));

% 验证
var_real = var(real(n))  % ≈ sigma2/2
var_imag = var(imag(n))  % ≈ sigma2/2
var_total = var(n)       % ≈ sigma2

Python：

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import numpy as np

sigma2 = 0.1
N = 1000

n = np.sqrt(sigma2/2) * (np.random.randn(N) + 1j*np.random.randn(N))

# 验证
print(np.var(np.real(n)))  # ≈ 0.05
print(np.var(np.imag(n)))  # ≈ 0.05
print(np.var(n))           # ≈ 0.1

📡 在通信中的应用¶

应用 1：接收信号模型¶

复基带模型：

其中： - \(y\)：复接收信号 - \(h\)：复信道增益 - \(x\)：复发送符号 - \(n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)：复高斯噪声

信噪比：

应用 2：QPSK 解调¶

接收： \(y = x + n\)，\(x \in \{\frac{A}{\sqrt{2}}(\pm 1 \pm j)\}\)

噪声： \(n \sim \mathcal{CN}(0, N_0)\)

错误概率：

高 SNR 近似： \(\(P_e \approx 2Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\)\)

⚠️ 常见误区¶

误区 1： "复高斯的方差是 \(\sigma^2/2\)"

纠正： 复高斯的总方差是 \(\sigma^2\)，实部和虚部各占 \(\sigma^2/2\)。

误区 2： "AWGN 的功率是无穷大"

纠正： 理想白噪声功率无穷大，但实际系统有带宽限制，功率有限：\(P_n = N_0 B\)。

误区 3： "复噪声的实部和虚部相关"

纠正： 标准复高斯噪声的实部和虚部是独立的！

✏️ 练习题 8.2¶

基础题 8-3：

\(Z \sim \mathcal{CN}(0, 1)\)。计算 \(P(|Z| > 2)\)。

答案：

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|Z|² 服从指数分布，参数 λ = 1
P(|Z| > 2) = P(|Z|² > 4) = e⁻⁴ ≈ 0.0183

进阶题 8-4：

推导 \(y = hx + n\) 的 SNR，其中 \(x\) 是 QPSK 符号，\(E[|x|^2] = E_s\)。

答案：

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SNR = E[|hx|²]/E[|n|²]
    = |h|²E[|x|²]/σ²
    = |h|²E_s/σ²

若 E_s = 2E_b（QPSK）：
SNR = |h|²·2E_b/σ²

8.3 噪声方差估计 ⭐⭐⭐¶

🎯 基础概念¶

为什么要估计噪声方差？¶

应用： - LMMSE 信道估计需要 \(\sigma^2\) - 自适应调制需要 SNR 信息 - 解码器需要噪声统计

问题： \(\sigma^2\) 通常未知，需要从接收信号估计！

📐 估计方法¶

方法 1：基于导频¶

模型： 导频位置 \(Y_p = H_p X_p + N\)

已知： \(X_p\)（导频符号），\(\hat{H}_p\)（信道估计）

估计量：

分析：

若 \(\hat{H}_p\) 完美（\(\hat{H}_p = H_p\)）：

是无偏估计！

方法 2：基于空闲子载波¶

场景： OFDM 系统有保护子载波（不发送信号）

模型： 空闲子载波 \(Y_{null} = N\)

估计量：

分析：

是无偏估计！

方法 3：基于差分¶

场景： 无导频，但有重复符号

模型： \(Y_1 = HX + N_1\)，\(Y_2 = HX + N_2\)

差分：

估计量：

📊 估计量性能¶

MSE 分析¶

导频估计量的 MSE：

对于复高斯噪声：

MSE： \(\(\text{MSE} = \frac{\sigma^4}{N_p}\)\)

相对误差： \(\(\frac{\sqrt{\text{MSE}}}{\sigma^2} = \frac{1}{\sqrt{N_p}}\)\)

数值例子 8-5：

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N_p = 100 个导频

相对误差 = 1/√100 = 10%

N_p = 400 个导频

相对误差 = 1/√400 = 5%

📡 在通信中的应用¶

应用 1：LTE 系统中的噪声估计¶

LTE 导频结构：

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时隙 0: [Pilot] [Data] [Data] [Pilot] ...
时隙 1: [Data] [Pilot] [Pilot] [Data] ...

导频密度：约 1/6 子载波

估计流程：

1. 接收 OFDM 符号
2. 提取导频位置
3. 用 LS 估计信道 \(\hat{H}_p = Y_p/X_p\)
4. 计算残差 \(e = Y_p - \hat{H}_p X_p\)
5. 估计噪声 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N_p}\sum |e|^2\)

应用 2：SNR 报告¶

UE 测量：

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接收功率：RSRP（参考信号接收功率）
噪声功率：RSSI（接收信号强度指示）

SNR = RSRP / (RSSI - RSRP)

上报：

UE 定期上报 CQI（信道质量指示），基于估计的 SNR。

✏️ 练习题 8.3¶

基础题 8-5：

100 个导频，估计噪声方差。推导估计量的标准差。

答案：

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Var(σ̂²) = σ⁴/N_p = σ⁴/100
Std(σ̂²) = σ²/10

相对标准差 = (σ²/10)/σ² = 10%

进阶题 8-6：

比较导频法和空闲子载波法的性能。

提示：

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导频法：需要信道估计，有误差传播
空闲子载波：无需信道估计，但子载波数少

答案：

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导频法：
- 优点：导频数多，估计准确
- 缺点：依赖信道估计质量

空闲子载波：
- 优点：无需信道估计，简单
- 缺点：子载波数少（如 LTE 只有约 10%）

实际系统：两者结合使用

📌 本章小结¶

关键公式速查¶

重要常数¶

与后续章节的联系¶

• 第 9 章（信道估计）： LMMSE 需要 \(\sigma^2\)
• 第 11 章（解调）： LLR 计算需要噪声方差

🎓 本章完成检查¶

在完成第 9 章之前，确保你能：

• 解释 AWGN 的三个特性（加性、高斯、白）
• 写出实高斯和复高斯的 PDF
• 说明复高斯实部和虚部的关系
• 计算热噪声功率
• 推导 SNR 公式
• 说明导频法估计噪声方差的原理
• 说明空闲子载波法的优缺点
• 计算估计量的 MSE

全部掌握？ → 继续学习 第 9 章 信道估计算法

还有疑问？ → 重读本章节，或做更多练习题

第 8 章 结束