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第 10 章 均衡算法

本章预计学习时间： 4 小时
前置知识： 第 3 章（线性代数）、第 4 章（估计理论）、第 7 章（信道建模）、第 9 章（信道估计）
后续依赖： 第 11 章（解调与软信息）

📌 本章目标

学完本章后，你将能够：

  1. 理解 均衡器的作用和设计原理
  2. 推导 ZF 均衡器的闭式解及噪声增强问题
  3. 完整推导 MMSE 均衡器的最优性
  4. 掌握 MIMO 检测算法（ZF、MMSE、ML）
  5. 应用 均衡器分析 4G/5G 系统性能

10.1 均衡器问题描述

🎯 基础概念（零基础友好）

为什么要均衡？

问题： 接收信号 \(y = hx + n\)，如何恢复 \(x\)？

** naive 方法：** 直接除以 \(h\)

\[\hat{x} = \frac{y}{h} = x + \frac{n}{h}\]

问题： 若 \(|h|\) 很小，噪声被放大！

例子 10-1：深衰落

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发送：x = 1+j
信道：h = 0.1（深衰落）
噪声：n = 0.05+0.05j

接收：y = hx + n = 0.1(1+j) + 0.05+0.05j = 0.15+0.15j

naive 恢复：x̂ = y/h = (0.15+0.15j)/0.1 = 1.5+1.5j

误差：|x̂ - x| = |0.5+0.5j| = 0.707（很大！）

解决方案： 用均衡器！

均衡器定义

定义 10-1（均衡器）：

均衡器是一个滤波器 \(W\)，应用于接收信号以补偿信道失真：

\[\hat{x} = W y\]

目标： 使 \(\hat{x}\) 尽可能接近 \(x\)

📐 系统模型

SISO 模型

接收信号： \(\(y = hx + n\)\)

其中： - \(h\)：信道增益（复数） - \(x\)：发送符号（如 QPSK 星座点） - \(n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)：噪声

线性均衡器： \(\(\hat{x} = w y\)\)

其中 \(w\) 是均衡器权重（复数）。

MIMO 模型

接收信号： \(\(\mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} + \mathbf{n}\)\)

其中： - \(\mathbf{y} \in \mathbb{C}^{N_r}\)：接收向量（\(N_r\) 根接收天线） - \(\mathbf{H} \in \mathbb{C}^{N_r \times N_t}\)：信道矩阵（\(N_t\) 根发射天线） - \(\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{N_t}\)：发送向量 - \(\mathbf{n} \in \mathbb{C}^{N_r}\)：噪声向量

线性均衡器： \(\(\hat{\mathbf{x}} = \mathbf{W} \mathbf{y}\)\)

其中 \(\mathbf{W} \in \mathbb{C}^{N_t \times N_r}\) 是均衡器矩阵。

✏️ 练习题 10.1

基础题 10-1：

SISO 系统，\(h = 0.5+0.3j\)，接收 \(y = 1.2+0.8j\)。ZF 均衡器的输出是多少？

答案： 

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w_ZF = 1/h = 1/(0.5+0.3j) = (0.5-0.3j)/(0.5²+0.3²) = (0.5-0.3j)/0.34
     = 1.47-0.88j

x̂ = w_ZF × y = (1.47-0.88j)(1.2+0.8j) = 2.47+0.17j

10.2 ZF 均衡器的数学分析 ⭐⭐⭐

🎯 基础概念

ZF 均衡器定义

定义 10-2（ZF 均衡器）：

ZF（Zero Forcing，迫零）均衡器强制消除信道影响：

\[\mathbf{W}_{ZF} \mathbf{H} = \mathbf{I}\]

物理解释：

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接收：y = Hx + n

ZF 均衡：x̂ = W_ZF y = W_ZF H x + W_ZF n = x + W_ZF n

结果：信道影响被完全消除（理想情况）
问题：噪声被放大！

📐 SISO 情况

ZF 均衡器

SISO 模型： \(y = hx + n\)

ZF 条件： \(w_{ZF} h = 1\)

解： \(\(\boxed{w_{ZF} = \frac{1}{h}}\)\)

均衡输出： \(\(\hat{x}_{ZF} = w_{ZF} y = \frac{1}{h}(hx + n) = x + \frac{n}{h}\)\)

噪声增强分析

输出噪声功率：

\[E[|\hat{x}_{ZF} - x|^2] = E\left[\left|\frac{n}{h}\right|^2\right] = \frac{E[|n|^2]}{|h|^2} = \frac{\sigma^2}{|h|^2}\]

输出 SNR：

\[\text{SNR}_{out, ZF} = \frac{E[|x|^2]}{E[|\hat{x}_{ZF} - x|^2]} = \frac{E_s}{\sigma^2/|h|^2} = \frac{|h|^2 E_s}{\sigma^2}\]

与输入 SNR 比较：

\[\text{SNR}_{in} = \frac{|h|^2 E_s}{\sigma^2}\]

结论： ZF 均衡后 SNR 不变（理想消除信道），但...

问题： 当 \(|h|\) 很小时

\[\text{输出噪声功率} = \frac{\sigma^2}{|h|^2} \to \infty \quad \text{当 } |h| \to 0\]

这就是噪声增强！

数值例子

例子 10-2：ZF 噪声增强

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场景 1：|h| = 1（正常）
输出噪声功率 = σ²/1 = σ²

场景 2：|h| = 0.1（深衰落）
输出噪声功率 = σ²/0.01 = 100σ²

场景 3：|h| = 0.01（极深衰落）
输出噪声功率 = σ²/0.0001 = 10000σ²

结论：深衰落时，ZF 均衡器严重放大噪声！

📐 MIMO 情况

ZF 均衡器

MIMO 模型： \(\mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} + \mathbf{n}\)

ZF 条件： \(\mathbf{W}_{ZF} \mathbf{H} = \mathbf{I}\)

解（\(N_r \geq N_t\)）：

\[\boxed{\mathbf{W}_{ZF} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H}\]

这是 \(\mathbf{H}\) 的**伪逆**（Moore-Penrose 逆）！

推导：

ZF 条件：\(\mathbf{W} \mathbf{H} = \mathbf{I}\)

右乘 \(\mathbf{H}^H\)： \(\(\mathbf{W} \mathbf{H} \mathbf{H}^H = \mathbf{H}^H\)\)

若 \(\mathbf{H} \mathbf{H}^H\) 可逆： \(\(\mathbf{W} = \mathbf{H}^H (\mathbf{H} \mathbf{H}^H)^{-1}\)\)

这是右伪逆（\(N_r \geq N_t\) 时用左伪逆）： \(\(\mathbf{W}_{ZF} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H\)\)

均衡输出： \(\(\hat{\mathbf{x}}_{ZF} = \mathbf{W}_{ZF} \mathbf{y} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H (\mathbf{H} \mathbf{x} + \mathbf{n}) = \mathbf{x} + (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{n}\)\)

噪声增强分析

输出噪声协方差：

\[\begin{aligned} \mathbf{R}_{n,out} &= E[(\mathbf{W}_{ZF} \mathbf{n})(\mathbf{W}_{ZF} \mathbf{n})^H] \\ &= \mathbf{W}_{ZF} E[\mathbf{n} \mathbf{n}^H] \mathbf{W}_{ZF}^H \\ &= \sigma^2 \mathbf{W}_{ZF} \mathbf{W}_{ZF}^H \\ &= \sigma^2 (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{H} (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \\ &= \sigma^2 (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \end{aligned}\]

第 \(k\) 个数据流的噪声功率：

\[\sigma^2_{k, out} = \sigma^2 [(\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1}]_{kk}\]

问题： 若 \(\mathbf{H}\) 病态（接近奇异）

  • \((\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1}\) 的元素很大
  • 噪声被严重放大
  • 性能急剧下降

⚠️ ZF 的局限性

问题 1：噪声增强

根本原因： ZF 强制消除信道，不考虑噪声

后果： 深衰落或病态信道时性能差

问题 2：需要信道可逆

条件： \(\mathbf{H}^H \mathbf{H}\) 必须可逆

要求： \(N_r \geq N_t\)（接收天线数 ≥ 发射天线数）

若 \(N_r < N_t\)，ZF 无解！

✏️ 练习题 10.2

基础题 10-2：

2×2 MIMO 系统，\(\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.3 & 1 \end{bmatrix}\)。计算 \(\mathbf{W}_{ZF}\)。

答案： 

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HᴴH = [[1, 0.3], [0.5, 1]] × [[1, 0.5], [0.3, 1]]
     = [[1.09, 0.8], [0.8, 1.25]]

(HᴴH)⁻¹ = (1/(1.09×1.25-0.8²)) × [[1.25, -0.8], [-0.8, 1.09]]
        = (1/0.7225) × [[1.25, -0.8], [-0.8, 1.09]]
        = [[1.73, -1.11], [-1.11, 1.51]]

W_ZF = (HᴴH)⁻¹ Hᴴ = [[1.73, -1.11], [-1.11, 1.51]] × [[1, 0.3], [0.5, 1]]
     = [[1.175, -0.59], [-0.355, 1.175]]

进阶题 10-3：

证明：ZF 均衡器的输出 SNR 为 \(\text{SNR}_k = \frac{E_s}{\sigma^2 [(\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1}]_{kk}}\)。

10.3 MMSE 均衡器最优性证明 ⭐⭐⭐⭐⭐

🎯 基础概念

MMSE 准则

问题： ZF 噪声增强严重，如何改进？

答案： 考虑噪声，最小化均方误差！

定义 10-3（MMSE 均衡器）：

\[\mathbf{W}_{MMSE} = \arg\min_{\mathbf{W}} E[\|\mathbf{x} - \mathbf{W} \mathbf{y}\|^2]\]

📐 SISO 情况

MMSE 均衡器

SISO 模型： \(y = hx + n\)

MMSE 问题： \(\(w_{MMSE} = \arg\min_w E[|x - w y|^2]\)\)

定理 10-1：SISO MMSE 解

\[\boxed{w_{MMSE} = \frac{h^* E_s}{|h|^2 E_s + \sigma^2} = \frac{h^*}{|h|^2 + \sigma^2/E_s}}\]

其中 \(E_s = E[|x|^2]\) 是符号能量。

推导：

步骤 1：展开代价函数

\[\begin{aligned} J(w) &= E[|x - w y|^2] \\ &= E[(x - w y)(x^* - w^* y^*)] \\ &= E[|x|^2] - w E[y x^*] - w^* E[x y^*] + |w|^2 E[|y|^2] \end{aligned}\]

步骤 2：计算各项

\[E[|x|^2] = E_s\]
\[E[y x^*] = E[(hx + n)x^*] = h E[|x|^2] + E[n x^*] = h E_s\]
\[E[x y^*] = (E[y x^*])^* = h^* E_s\]
\[E[|y|^2] = E[|hx + n|^2] = |h|^2 E_s + \sigma^2\]

步骤 3：代入

\[J(w) = E_s - w h E_s - w^* h^* E_s + |w|^2 (|h|^2 E_s + \sigma^2)\]

步骤 4：对 \(w^*\) 求导

\[\frac{\partial J}{\partial w^*} = -h^* E_s + w (|h|^2 E_s + \sigma^2)\]

步骤 5：令为零

\[-h^* E_s + w (|h|^2 E_s + \sigma^2) = 0\]
\[w_{MMSE} = \frac{h^* E_s}{|h|^2 E_s + \sigma^2} \quad \checkmark\]

物理解释

重写：

\[w_{MMSE} = \frac{h^*}{|h|^2 + \sigma^2/E_s} = \underbrace{\frac{h^*}{|h|^2}}_{\text{ZF}} \cdot \underbrace{\frac{|h|^2}{|h|^2 + \sigma^2/E_s}}_{\text{正则化因子}}\]

正则化因子：

\[\alpha = \frac{|h|^2}{|h|^2 + \sigma^2/E_s} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\text{SNR}}}\]

其中 \(\text{SNR} = \frac{|h|^2 E_s}{\sigma^2}\)。

极端情况：

SNR 正则化因子 \(\alpha\) 行为
高 SNR（\(\sigma^2 \to 0\)） \(\alpha \to 1\) \(w_{MMSE} \to w_{ZF}\)
低 SNR（\(\sigma^2 \to \infty\)） \(\alpha \to 0\) \(w_{MMSE} \to 0\)（抑制噪声）

物理解释：

  • 高 SNR：接近 ZF（消除信道）
  • 低 SNR：不放大噪声（牺牲信道补偿）

性能分析

输出： \(\(\hat{x}_{MMSE} = w_{MMSE} y = \frac{h^* E_s}{|h|^2 E_s + \sigma^2} (hx + n)\)\)

\[= \frac{|h|^2 E_s}{|h|^2 E_s + \sigma^2} x + \frac{h^* E_s}{|h|^2 E_s + \sigma^2} n\]

信号分量： \(\(E[|\text{信号}|^2] = \left(\frac{|h|^2 E_s}{|h|^2 E_s + \sigma^2}\right)^2 E_s\)\)

噪声分量： \(\(E[|\text{噪声}|^2] = \left|\frac{h^* E_s}{|h|^2 E_s + \sigma^2}\right|^2 \sigma^2 = \frac{|h|^2 E_s^2 \sigma^2}{(|h|^2 E_s + \sigma^2)^2}\)\)

输出 SNR：

\[\text{SNR}_{out, MMSE} = \frac{(|h|^2 E_s)^2 E_s}{|h|^2 E_s^2 \sigma^2} = \frac{|h|^2 E_s}{\sigma^2} = \text{SNR}_{in}\]

结论： MMSE 均衡后 SNR 等于输入 SNR（最优！）

📐 MIMO 情况

MMSE 均衡器

MIMO 模型： \(\mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} + \mathbf{n}\)

MMSE 问题： \(\(\mathbf{W}_{MMSE} = \arg\min_{\mathbf{W}} E[\|\mathbf{x} - \mathbf{W} \mathbf{y}\|^2]\)\)

定理 10-2：MIMO MMSE 解

\[\boxed{\mathbf{W}_{MMSE} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H} + \frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}^H}\]

或等价形式： \(\(\boxed{\mathbf{W}_{MMSE} = \mathbf{H}^H (\mathbf{H} \mathbf{H}^H + \frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I})^{-1}}\)\)

推导：

步骤 1：展开代价函数

\[\begin{aligned} J(\mathbf{W}) &= E[\|\mathbf{x} - \mathbf{W} \mathbf{y}\|^2] \\ &= E[\text{tr}((\mathbf{x} - \mathbf{W} \mathbf{y})(\mathbf{x} - \mathbf{W} \mathbf{y})^H)] \\ &= \text{tr}(E[\mathbf{x}\mathbf{x}^H] - E[\mathbf{x}\mathbf{y}^H]\mathbf{W}^H - \mathbf{W}E[\mathbf{y}\mathbf{x}^H] + \mathbf{W}E[\mathbf{y}\mathbf{y}^H]\mathbf{W}^H) \end{aligned}\]

步骤 2：计算相关矩阵

\[E[\mathbf{x}\mathbf{x}^H] = E_s \mathbf{I}\]
\[E[\mathbf{y}\mathbf{x}^H] = E[(\mathbf{H}\mathbf{x} + \mathbf{n})\mathbf{x}^H] = \mathbf{H} E_s\]
\[E[\mathbf{x}\mathbf{y}^H] = (E[\mathbf{y}\mathbf{x}^H])^H = E_s \mathbf{H}^H\]
\[E[\mathbf{y}\mathbf{y}^H] = \mathbf{H} E_s \mathbf{H}^H + \sigma^2 \mathbf{I}\]

步骤 3：代入

\[J(\mathbf{W}) = \text{tr}(E_s \mathbf{I} - E_s \mathbf{H}^H \mathbf{W}^H - \mathbf{W} E_s \mathbf{H}^H + \mathbf{W}(\mathbf{H} E_s \mathbf{H}^H + \sigma^2 \mathbf{I})\mathbf{W}^H)\]

步骤 4：对 \(\mathbf{W}^*\) 求梯度

\[\frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^*} = -E_s \mathbf{H} + \mathbf{W}(\mathbf{H} E_s \mathbf{H}^H + \sigma^2 \mathbf{I})\]

步骤 5：令为零

\[-E_s \mathbf{H} + \mathbf{W}(\mathbf{H} E_s \mathbf{H}^H + \sigma^2 \mathbf{I}) = \mathbf{0}\]
\[\mathbf{W}(\mathbf{H} E_s \mathbf{H}^H + \sigma^2 \mathbf{I}) = E_s \mathbf{H}\]

步骤 6：求解

\[\mathbf{W}_{MMSE} = E_s \mathbf{H} (\mathbf{H} E_s \mathbf{H}^H + \sigma^2 \mathbf{I})^{-1}\]
\[= \mathbf{H} (\mathbf{H}^H \mathbf{H} + \frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}^H \quad \text{（用矩阵求逆引理）}\]
\[= (\mathbf{H}^H \mathbf{H} + \frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}^H \quad \checkmark\]

与 ZF 的比较

ZF： \(\mathbf{W}_{ZF} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H\)

MMSE： \(\mathbf{W}_{MMSE} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H} + \frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}^H\)

区别： MMSE 多了正则化项 \(\frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I}\)

作用： - 防止矩阵奇异 - 抑制噪声增强 - 改善病态信道性能

📊 性能比较

SISO 情况

均衡器 权重 输出噪声功率
ZF \(\frac{1}{h}\) $\frac{\sigma^2}{
MMSE $\frac{h^*}{ h

SNR 比较：

\[\text{SNR}_{ZF} = \frac{|h|^2 E_s}{\sigma^2}\]
\[\text{SNR}_{MMSE} = \frac{|h|^2 E_s}{\sigma^2}\]

结论： 理想情况下 SNR 相同，但 MMSE 更稳健！

MIMO 情况

ZF 输出噪声协方差： \(\(\mathbf{R}_{n, ZF} = \sigma^2 (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1}\)\)

MMSE 输出噪声协方差： \(\(\mathbf{R}_{n, MMSE} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H} + \frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I})^{-1} \sigma^2 (\mathbf{H}^H \mathbf{H} + \frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{H}\)\)

MMSE 总是优于或等于 ZF！

📝 数值例子

例子 10-3：SISO ZF vs MMSE

参数： - \(h = 0.5\) - \(E_s = 1\) - \(\sigma^2 = 0.1\)（SNR = 7 dB）

ZF： \(\(w_{ZF} = \frac{1}{0.5} = 2\)\)

输出噪声功率：\(\frac{0.1}{0.5^2} = 0.4\)

MMSE： \(\(w_{MMSE} = \frac{0.5}{0.5^2 + 0.1/1} = \frac{0.5}{0.35} = 1.43\)\)

输出噪声功率：\(\frac{0.5^2 \times 1^2 \times 0.1}{(0.5^2 \times 1 + 0.1)^2} = \frac{0.025}{0.1225} = 0.204\)

比较：

均衡器 权重 噪声功率 相对 ZF
ZF 2.0 0.4 -
MMSE 1.43 0.204 改善 49%

⚠️ 常见误区

误区 1： "MMSE 总是比 ZF 好很多"

纠正： 高 SNR 时，MMSE ≈ ZF。

误区 2： "MMSE 复杂度太高"

纠正： MMSE 只比 ZF 多一个矩阵加法，求逆复杂度相同。

误区 3： "MMSE 需要精确的 \(\sigma^2\)"

纠正： 可以使用估计值，性能损失不大。

✏️ 练习题 10.3

基础题 10-4：

SISO 系统，\(h = 1+j\)，\(E_s = 1\)，\(\sigma^2 = 0.5\)。计算 \(w_{MMSE}\)。

答案： 

1
2
|h|² = 2
w_MMSE = h*/(|h|² + σ²/E_s) = (1-j)/(2 + 0.5) = (1-j)/2.5 = 0.4-0.4j

进阶题 10-5：

证明：MIMO MMSE 的两种形式等价。

提示： 

1
用 Woodbury 恒等式

10.4 MIMO 检测算法 ⭐⭐⭐⭐

🎯 基础概念

MIMO 检测问题

模型： \(\mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} + \mathbf{n}\)

已知： \(\mathbf{y}\)，\(\mathbf{H}\)

未知： \(\mathbf{x}\)（离散星座点）

目标： 估计 \(\mathbf{x}\)

挑战： - \(\mathbf{x}\) 是离散的（不是连续值） - 需要联合检测多个数据流 - 复杂度随天线数指数增长

📐 ZF 检测

算法

步骤 1：ZF 均衡

\[\hat{\mathbf{x}}_{ZF} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{y}\]

步骤 2：量化到星座点

\[\hat{x}_k = \text{Quantize}(\hat{x}_{ZF, k})\]

其中 Quantize 是最近邻判决。

性能

优点： - 简单，复杂度低 - 完全消除层间干扰

缺点： - 噪声增强 - 病态信道性能差

📐 MMSE 检测

算法

步骤 1：MMSE 均衡

\[\hat{\mathbf{x}}_{MMSE} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H} + \frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{y}\]

步骤 2：量化到星座点

\[\hat{x}_k = \text{Quantize}(\hat{x}_{MMSE, k})\]

性能

优点： - 抑制噪声增强 - 稳健性好

缺点： - 需要 \(\sigma^2\) 估计 - 仍有性能损失（次优）

📐 最大似然（ML）检测

算法

ML 准则：

\[\hat{\mathbf{x}}_{ML} = \arg\min_{\mathbf{x} \in \mathcal{S}^{N_t}} \|\mathbf{y} - \mathbf{H} \mathbf{x}\|^2\]

其中 \(\mathcal{S}\) 是星座点集合。

解释： 遍历所有可能的 \(\mathbf{x}\)，选择使欧氏距离最小的。

复杂度分析

搜索空间大小： \(|\mathcal{S}|^{N_t}\)

例子： - 4×4 MIMO，QPSK（\(|\mathcal{S}|=4\)）：\(4^4 = 256\) 次搜索 - 4×4 MIMO，16QAM（\(|\mathcal{S}|=16\)）：\(16^4 = 65536\) 次搜索 - 8×8 MIMO，64QAM：\(64^8 \approx 2.8 \times 10^{14}\) 次搜索（不可行！）

性能

优点： - 最优性能（最小错误概率） - 无噪声增强

缺点： - 复杂度指数增长 - 大 MIMO 系统无法实现

📊 性能比较

误码率比较

2×2 MIMO，QPSK：

SNR (dB) ZF MMSE ML
10 \(10^{-2}\) \(5\times10^{-3}\) \(2\times10^{-3}\)
15 \(10^{-3}\) \(3\times10^{-4}\) \(10^{-4}\)
20 \(10^{-4}\) \(10^{-5}\) \(2\times10^{-6}\)

MMSE vs ZF： MMSE 优于 ZF 约 2-3 dB

ML vs MMSE： ML 优于 MMSE 约 1-2 dB

📝 数值例子

例子 10-4：2×2 MIMO 检测

参数： - \(\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.9 \end{bmatrix}\) - \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1+j \\ -1+j \end{bmatrix}\)（QPSK） - \(\mathbf{n} = \begin{bmatrix} 0.1 \\ -0.05 \end{bmatrix}\)

接收信号：

\[\mathbf{y} = \mathbf{H}\mathbf{x} + \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1+j \\ -1+j \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.1 \\ -0.05 \end{bmatrix}\]
\[= \begin{bmatrix} 0.8(1+j) + 0.3(-1+j) \\ 0.2(1+j) + 0.9(-1+j) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.1 \\ -0.05 \end{bmatrix}\]
\[= \begin{bmatrix} 0.6 \\ -0.75 \end{bmatrix} + j\begin{bmatrix} 1.1 \\ 1.1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.1 \\ -0.05 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7+1.1j \\ -0.8+1.1j \end{bmatrix}\]

ZF 检测：

\[\mathbf{W}_{ZF} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H = \begin{bmatrix} 1.34 & -0.45 \\ -0.45 & 1.19 \end{bmatrix}\]
\[\hat{\mathbf{x}}_{ZF} = \mathbf{W}_{ZF} \mathbf{y} = \begin{bmatrix} 1.34 & -0.45 \\ -0.45 & 1.19 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.7+1.1j \\ -0.8+1.1j \end{bmatrix}\]
\[= \begin{bmatrix} 1.34(0.7+1.1j) - 0.45(-0.8+1.1j) \\ -0.45(0.7+1.1j) + 1.19(-0.8+1.1j) \end{bmatrix}\]
\[= \begin{bmatrix} 1.3+1.0j \\ -1.26+0.8j \end{bmatrix}\]

量化：

QPSK 星座：\(\{\pm 1 \pm j\}\)

\[\hat{\mathbf{x}}_{ZF} \to \begin{bmatrix} 1+j \\ -1+j \end{bmatrix} = \mathbf{x} \quad \checkmark\]

正确检测！

⚠️ 常见误区

误区 1： "ML 总是可行"

纠正： 大 MIMO 或高阶调制时，ML 复杂度不可接受。

误区 2： "ZF 完全没用"

纠正： ZF 在高 SNR、良态信道时性能接近 ML。

误区 3： "MMSE 需要完美 CSI"

纠正： 可以使用估计的信道，性能损失可控。

✏️ 练习题 10.4

基础题 10-6：

2×2 MIMO，QPSK。ML 检测需要搜索多少次？

答案： 

1
2
3
4
|S| = 4（QPSK）
N_t = 2

搜索次数 = 4² = 16 次

进阶题 10-7：

推导 ML 检测的成对错误概率上界。

提示： 

1
2
P(x→x') = Q(‖H(x-x')‖/√(2σ²))
用联合界

📌 本章小结

关键公式速查

均衡器 公式
ZF (SISO) \(w_{ZF} = \frac{1}{h}\)
ZF (MIMO) \(\mathbf{W}_{ZF} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H\)
MMSE (SISO) $w_{MMSE} = \frac{h^*}{
MMSE (MIMO) \(\mathbf{W}_{MMSE} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H} + \frac{\sigma^2}{E_s} \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}^H\)
ML \(\hat{\mathbf{x}}_{ML} = \arg\min_{\mathbf{x}} \|\mathbf{y} - \mathbf{H}\mathbf{x}\|^2\)

均衡器比较

均衡器 复杂度 性能 需要信息
ZF 低 一般 \(\mathbf{H}\)
MMSE 中 好 \(\mathbf{H}, \sigma^2\)
ML 高（指数） 最优 \(\mathbf{H}, \sigma^2\)

🎓 本章完成检查

在完成第 11 章之前，确保你能：

  • 推导 ZF 均衡器的闭式解
  • 解释 ZF 的噪声增强问题
  • 完整推导 MMSE 均衡器（SISO 和 MIMO）
  • 说明 MMSE 与 ZF 的区别
  • 推导 MMSE 的正则化因子
  • 说明 ML 检测的最优性
  • 计算 ML 检测的复杂度
  • 比较 ZF、MMSE、ML 的性能

全部掌握？ → 继续学习 第 11 章 解调与软信息

还有疑问？ → 重读本章节，或做更多练习题

第 10 章 结束