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第 11 章 解调与软信息

本章预计学习时间： 4 小时
前置知识： 第 1 章（概率论）、第 5 章（检测理论）、第 6 章（信号空间）、第 9 章（信道估计）、第 10 章（均衡算法）
后续依赖： 第 12 章（信道解码）

📌 本章目标

学完本章后，你将能够：

  1. 理解 硬判决与软判决的区别
  2. 推导 LLR（对数似然比）的完整公式
  3. 掌握 Max-Log 近似的原理
  4. 计算 QPSK/16QAM 的 LLR 值
  5. 应用 软信息作为信道解码器的输入

11.1 硬判决与软判决

🎯 基础概念（零基础友好）

什么是硬判决？

定义： 直接输出比特值（0 或 1）

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接收：y = 0.8+0.3j（均衡后）

硬判决：
- 实部 > 0 → b₀ = 0
- 虚部 > 0 → b₁ = 0

输出：[0, 0]

问题： 没有可靠性信息！

什么是软判决？

定义： 输出比特值 + 可靠性

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接收：y = 0.8+0.3j

软判决：
- b₀ = 0，可靠性 95%
- b₁ = 0，可靠性 70%

输出：LLR = [+4.5, +1.2]

优势： 解码器可以利用可靠性信息！

性能对比

例子 11-1：硬判决 vs 软判决

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场景：接收点靠近判决边界

硬判决：
- 直接判为 0
- 解码器不知道这个 0 不可靠

软判决：
- 输出 LLR = +0.5（弱 0）
- 解码器知道这个比特不可靠，会更多依赖其他比特

结果：软判决编码增益约 2-3 dB！

📐 数学描述

硬判决

定义 11-1（硬判决）：

\[\hat{b}_k = \begin{cases} 0 & \text{若 } P(b_k=0|y) > 0.5 \\ 1 & \text{否则} \end{cases}\]

软判决

定义 11-2（软判决）：

软判决输出后验概率或对数似然比（LLR）：

\[LLR(b_k) = \log \frac{P(b_k=0|y)}{P(b_k=1|y)}\]

LLR 解释：

LLR 值 含义 可靠性
LLR >> 0 很可能是 0 高
LLR > 0 可能是 0 中
LLR ≈ 0 不确定 低
LLR < 0 可能是 1 中
LLR << 0 很可能是 1 高

✏️ 练习题 11.1

基础题 11-1：

LLR = +3 表示什么？

答案： 

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LLR = log(P(0|y)/P(1|y)) = 3
P(0|y)/P(1|y) = e³ ≈ 20

P(0|y) = 20/(20+1) ≈ 95%
P(1|y) ≈ 5%

很可能是 0，可靠性高

11.2 LLR 计算的数学推导 ⭐⭐⭐⭐⭐

🎯 基础概念

问题描述

已知： - 接收信号 \(y\)（均衡后） - 信道估计 \(\hat{h}\) - 噪声方差 \(\sigma^2\) - 星座 \(\mathcal{S}\)（如 QPSK、16QAM）

目标： 计算每个比特 \(b_k\) 的 LLR

📐 完整推导

步骤 1：贝叶斯公式

定义：

\[LLR(b_k) = \log \frac{P(b_k=0|y)}{P(b_k=1|y)}\]

用贝叶斯公式：

\[P(b_k=i|y) = \frac{p(y|b_k=i)P(b_k=i)}{p(y)}\]

代入 LLR：

\[LLR(b_k) = \log \frac{p(y|b_k=0)P(b_k=0)}{p(y|b_k=1)P(b_k=1)}\]

步骤 2：等概发送假设

假设： \(P(b_k=0) = P(b_k=1) = 0.5\)

简化：

\[LLR(b_k) = \log \frac{p(y|b_k=0)}{p(y|b_k=1)}\]

步骤 3：边际化

问题： \(p(y|b_k=i)\) 怎么计算？

答案： 对所有满足 \(b_k=i\) 的星座点求和！

定义： - \(\mathcal{S}_0^{(k)} = \{x \in \mathcal{S} : \text{第 } k \text{ 比特为 0}\}\) - \(\mathcal{S}_1^{(k)} = \{x \in \mathcal{S} : \text{第 } k \text{ 比特为 1}\}\)

边际化：

\[p(y|b_k=0) = \sum_{x \in \mathcal{S}_0^{(k)}} p(y|x) P(x|b_k=0)\]

若等概：\(P(x|b_k=0) = \frac{1}{|\mathcal{S}_0^{(k)}|}\)

\[p(y|b_k=0) = \frac{1}{|\mathcal{S}_0^{(k)}|} \sum_{x \in \mathcal{S}_0^{(k)}} p(y|x)\]

步骤 4：高斯信道模型

模型： \(y = hx + n\)，\(n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)\)

条件 PDF：

\[p(y|x) = \frac{1}{\pi\sigma^2} \exp\left(-\frac{|y-hx|^2}{\sigma^2}\right)\]

步骤 5：LLR 完整公式

代入：

\[LLR(b_k) = \log \frac{\sum_{x \in \mathcal{S}_0^{(k)}} \exp\left(-\frac{|y-hx|^2}{\sigma^2}\right)}{\sum_{x \in \mathcal{S}_1^{(k)}} \exp\left(-\frac{|y-hx|^2}{\sigma^2}\right)}\]

注意： 常数因子 \(\frac{1}{\pi\sigma^2}\) 和 \(\frac{1}{|\mathcal{S}_0^{(k)}|}\) 抵消（假设 \(|\mathcal{S}_0^{(k)}| = |\mathcal{S}_1^{(k)}|\)）。

📊 Max-Log 近似

问题：精确 LLR 复杂度高

问题： 需要计算指数和，复杂度高

解决方案： Max-Log 近似

近似公式

近似：

\[\log \sum_i e^{a_i} \approx \max_i a_i\]

物理解释：

1
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若 a₁ >> a₂, a₃, ...，则：
log(e^a₁ + e^a₂ + ...) ≈ log(e^a₁) = a₁

Max-Log LLR

应用近似：

\[LLR(b_k) \approx \frac{1}{\sigma^2} \left[ \min_{x \in \mathcal{S}_1^{(k)}} |y-hx|^2 - \min_{x \in \mathcal{S}_0^{(k)}} |y-hx|^2 \right]\]

推导：

\[\begin{aligned} LLR(b_k) &= \log \frac{\sum_{x \in \mathcal{S}_0^{(k)}} \exp\left(-\frac{|y-hx|^2}{\sigma^2}\right)}{\sum_{x \in \mathcal{S}_1^{(k)}} \exp\left(-\frac{|y-hx|^2}{\sigma^2}\right)} \\ &\approx \frac{\max_{x \in \mathcal{S}_0^{(k)}} \left(-\frac{|y-hx|^2}{\sigma^2}\right)}{\max_{x \in \mathcal{S}_1^{(k)}} \left(-\frac{|y-hx|^2}{\sigma^2}\right)} \\ &= \frac{-\min_{x \in \mathcal{S}_0^{(k)}} \frac{|y-hx|^2}{\sigma^2}}{-\min_{x \in \mathcal{S}_1^{(k)}} \frac{|y-hx|^2}{\sigma^2}} \\ &= \frac{1}{\sigma^2} \left[ \min_{x \in \mathcal{S}_1^{(k)}} |y-hx|^2 - \min_{x \in \mathcal{S}_0^{(k)}} |y-hx|^2 \right] \quad \checkmark \end{aligned}\]

物理解释

Max-Log LLR：

\[LLR(b_k) \approx \frac{1}{\sigma^2} [d_1^2 - d_0^2]\]

其中： - \(d_0 = \min_{x \in \mathcal{S}_0^{(k)}} |y-hx|\)（到"0"星座点的最小距离） - \(d_1 = \min_{x \in \mathcal{S}_1^{(k)}} |y-hx|\)（到"1"星座点的最小距离）

解释： - \(d_1^2 - d_0^2 > 0\)：离"0"更近 → LLR > 0 → 判为 0 - \(d_1^2 - d_0^2 < 0\)：离"1"更近 → LLR < 0 → 判为 1 - \(|d_1^2 - d_0^2|\)：可靠性（距离差越大越可靠）

📝 数值例子

例子 11-2：BPSK 的 LLR

星座： \(\mathcal{S} = \{+1, -1\}\)

比特映射： \(0 \to +1\)，\(1 \to -1\)

精确 LLR：

\[LLR = \log \frac{p(y|+1)}{p(y|-1)} = \log \frac{\exp\left(-\frac{|y-h|^2}{\sigma^2}\right)}{\exp\left(-\frac{|y+h|^2}{\sigma^2}\right)}\]
\[= \frac{1}{\sigma^2} (|y+h|^2 - |y-h|^2)\]

展开：

\[|y+h|^2 - |y-h|^2 = (y+h)(y^*+h^*) - (y-h)(y^*-h^*)\]
\[= y h^* + h y^* + |h|^2 - (-y h^* - h y^* + |h|^2)\]
\[= 2(y h^* + h y^*) = 4 \text{Re}\{y h^*\}\]

结果：

\[LLR = \frac{4}{\sigma^2} \text{Re}\{y h^*\}\]

信道补偿后： 令 \(\tilde{y} = y/h\)

\[LLR = \frac{4|h|}{\sigma^2} \text{Re}\{\tilde{y}\}\]

数值计算：

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h = 1, σ² = 0.5, y = 0.8

LLR = (4/0.5) × 0.8 = 6.4

P(0|y) = e^6.4/(e^6.4+1) ≈ 99.8%

⚠️ 常见误区

误区 1： "Max-Log 近似总是很准确"

纠正： Max-Log 在低 SNR 时有性能损失（约 0.5-1 dB）。

误区 2： "LLR 必须在 [-1, +1] 范围内"

纠正： LLR 范围是 \((-\infty, +\infty)\)。实际中会限幅（如 [-10, +10]）。

误区 3： "LLR 计算需要完美 CSI"

纠正： 可以使用估计的 \(\hat{h}\) 和 \(\hat{\sigma}^2\)，性能损失可控。

✏️ 练习题 11.2

基础题 11-2：

BPSK，\(h=1\)，\(\sigma^2=1\)，\(y=-0.5\)。计算 LLR。

答案： 

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LLR = (4/σ²) Re{y h*} = (4/1) × (-0.5) = -2

LLR < 0 → 判为 1

进阶题 11-3：

推导 QPSK 的 LLR 公式（见下一节）。

11.3 QPSK 的 LLR 计算 ⭐⭐⭐⭐

🎯 星座与比特映射

QPSK 星座

星座点：

\[\mathcal{S} = \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\pm 1 \pm j)\right\}\]

格雷编码映射：

星座点 实部 虚部 比特 (b₀b₁)
\(s_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+j)\) \(+1/\sqrt{2}\) \(+1/\sqrt{2}\) 00
\(s_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1-j)\) \(+1/\sqrt{2}\) \(-1/\sqrt{2}\) 01
\(s_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1+j)\) \(-1/\sqrt{2}\) \(+1/\sqrt{2}\) 10
\(s_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1-j)\) \(-1/\sqrt{2}\) \(-1/\sqrt{2}\) 11

关键： 格雷编码确保相邻星座点只有 1 比特不同！

📐 LLR 推导

比特 b₀（实部）

集合： - \(\mathcal{S}_0^{(0)} = \{s_0, s_1\}\)（b₀=0，实部为正） - \(\mathcal{S}_1^{(0)} = \{s_2, s_3\}\)（b₀=1，实部为负）

Max-Log LLR：

\[LLR(b_0) \approx \frac{1}{\sigma^2} \left[ \min_{x \in \mathcal{S}_1^{(0)}} |y-hx|^2 - \min_{x \in \mathcal{S}_0^{(0)}} |y-hx|^2 \right]\]

信道补偿： 令 \(\tilde{y} = y/h = \tilde{y}_I + j\tilde{y}_Q\)

\[|y-hx|^2 = |h|^2 |\tilde{y} - x|^2\]

计算最小距离：

对于 b₀： - \(\min_{x \in \mathcal{S}_0^{(0)}} |\tilde{y} - x|^2 = (\tilde{y}_I - 1/\sqrt{2})^2 + \min((\tilde{y}_Q - 1/\sqrt{2})^2, (\tilde{y}_Q + 1/\sqrt{2})^2)\) - \(\min_{x \in \mathcal{S}_1^{(0)}} |\tilde{y} - x|^2 = (\tilde{y}_I + 1/\sqrt{2})^2 + \min((\tilde{y}_Q - 1/\sqrt{2})^2, (\tilde{y}_Q + 1/\sqrt{2})^2)\)

虚部项抵消！

\[LLR(b_0) \approx \frac{|h|^2}{\sigma^2} [(\tilde{y}_I + 1/\sqrt{2})^2 - (\tilde{y}_I - 1/\sqrt{2})^2]\]

展开：

\[(\tilde{y}_I + 1/\sqrt{2})^2 - (\tilde{y}_I - 1/\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{2}\tilde{y}_I\]

结果：

\[\boxed{LLR(b_0) \approx \frac{2\sqrt{2}|h|^2}{\sigma^2} \tilde{y}_I = \frac{2\sqrt{2}|h|}{\sigma^2} \text{Re}\{y/h\}}\]

比特 b₁（虚部）

类似推导：

\[\boxed{LLR(b_1) \approx \frac{2\sqrt{2}|h|^2}{\sigma^2} \tilde{y}_Q = \frac{2\sqrt{2}|h|}{\sigma^2} \text{Im}\{y/h\}}\]

📝 数值例子

例子 11-3：QPSK LLR 计算

参数： - \(h = 1\) - \(\sigma^2 = 0.5\) - \(y = 0.8 + 0.3j\)

信道补偿： \(\tilde{y} = y/h = 0.8 + 0.3j\)

LLR(b₀)：

\[LLR(b_0) \approx \frac{2\sqrt{2} \times 1}{0.5} \times 0.8 = 4\sqrt{2} \times 0.8 = 4.53\]

LLR(b₁)：

\[LLR(b_1) \approx \frac{2\sqrt{2} \times 1}{0.5} \times 0.3 = 4\sqrt{2} \times 0.3 = 1.70\]

判决： - \(LLR(b_0) = +4.53 > 0\) → \(b_0 = 0\)（可靠） - \(LLR(b_1) = +1.70 > 0\) → \(b_1 = 0\)（中等可靠）

输出比特： [0, 0]

📊 性能分析

精确 LLR vs Max-Log

精确 LLR：

\[LLR(b_0) = \log \frac{e^{-\frac{|y-hs_0|^2}{\sigma^2}} + e^{-\frac{|y-hs_1|^2}{\sigma^2}}}{e^{-\frac{|y-hs_2|^2}{\sigma^2}} + e^{-\frac{|y-hs_3|^2}{\sigma^2}}}\]

Max-Log 近似：

\[LLR(b_0) \approx \frac{1}{\sigma^2} [\min(|y-hs_2|^2, |y-hs_3|^2) - \min(|y-hs_0|^2, |y-hs_1|^2)]\]

性能损失： 约 0.5 dB（高 SNR 时可忽略）

✏️ 练习题 11.3

基础题 11-4：

QPSK，\(h=1\)，\(\sigma^2=0.5\)，\(y = -0.6+0.4j\)。计算 LLR(b₀) 和 LLR(b₁)。

答案： 

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ỹ = -0.6+0.4j
LLR(b₀) ≈ (2√2/0.5) × (-0.6) = 4√2 × (-0.6) = -3.40
LLR(b₁) ≈ (2√2/0.5) × 0.4 = 4√2 × 0.4 = 2.26

b₀ = 1（LLR<0），b₁ = 0（LLR>0）
输出：[1, 0]

11.4 16QAM 的 LLR 计算 ⭐⭐⭐⭐

🎯 星座与比特映射

16QAM 星座

星座点：

\[\mathcal{S} = \left\{\frac{1}{\sqrt{10}}(\pm 1 \pm j), \frac{1}{\sqrt{10}}(\pm 1 \pm 3j), \frac{1}{\sqrt{10}}(\pm 3 \pm j), \frac{1}{\sqrt{10}}(\pm 3 \pm 3j)\right\}\]

归一化： \(\frac{1}{\sqrt{10}}\) 确保 \(E[|x|^2] = 1\)

格雷编码映射

4 比特映射 (b₀b₁b₂b₃)：

实部 虚部 比特
+3 +3 0000
+3 +1 0001
+3 -1 0011
+3 -3 0010
+1 +3 0100
+1 +1 0101
+1 -1 0111
+1 -3 0110
-1 +3 1100
-1 +1 1101
-1 -1 1111
-1 -3 1110
-3 +3 1000
-3 +1 1001
-3 -1 1011
-3 -3 1010

关键： 格雷编码，相邻星座点只有 1 比特不同！

📐 LLR 推导

比特 b₀（MSB，实部高位）

集合： - \(\mathcal{S}_0^{(0)}\)：实部为 \(+3\) 或 \(+1\)（8 个点） - \(\mathcal{S}_1^{(0)}\)：实部为 \(-1\) 或 \(-3\)（8 个点）

Max-Log LLR：

\[LLR(b_0) \approx \frac{1}{\sigma^2} \left[ \min_{x \in \mathcal{S}_1^{(0)}} |y-hx|^2 - \min_{x \in \mathcal{S}_0^{(0)}} |y-hx|^2 \right]\]

信道补偿后： \(\tilde{y}_I = \text{Re}\{y/h\}\)

分段公式：

\[LLR(b_0) \approx \frac{|h|^2}{\sigma^2} \cdot \begin{cases} \tilde{y}_I - 2/\sqrt{10} & \tilde{y}_I > 2/\sqrt{10} \\ \tilde{y}_I & |\tilde{y}_I| \leq 2/\sqrt{10} \\ \tilde{y}_I + 2/\sqrt{10} & \tilde{y}_I < -2/\sqrt{10} \end{cases}\]

推导思路：

  • \(\tilde{y}_I > 2/\sqrt{10}\)：最近的"0"点是 \(+1/\sqrt{10}\)，最近的"1"点是 \(-1/\sqrt{10}\)
  • \(|\tilde{y}_I| \leq 2/\sqrt{10}\)：在中间区域，距离差线性
  • \(\tilde{y}_I < -2/\sqrt{10}\)：最近的"0"点是 \(-1/\sqrt{10}\)，最近的"1"点是 \(-3/\sqrt{10}\)

比特 b₁（实部低位）

类似推导：

\[LLR(b_1) \approx \frac{|h|^2}{\sigma^2} \cdot \begin{cases} -\tilde{y}_I + 3/\sqrt{10} & \tilde{y}_I > 3/\sqrt{10} \\ -\tilde{y}_I + 1/\sqrt{10} & 1/\sqrt{10} < \tilde{y}_I \leq 3/\sqrt{10} \\ \tilde{y}_I - 1/\sqrt{10} & -1/\sqrt{10} < \tilde{y}_I \leq 1/\sqrt{10} \\ \tilde{y}_I + 3/\sqrt{10} & \tilde{y}_I \leq -1/\sqrt{10} \end{cases}\]

比特 b₂, b₃（虚部）

类似实部，用 \(\tilde{y}_Q = \text{Im}\{y/h\}\)：

\[LLR(b_2) \approx \text{同 } b_0 \text{ 公式，用 } \tilde{y}_Q\]
\[LLR(b_3) \approx \text{同 } b_1 \text{ 公式，用 } \tilde{y}_Q\]

📝 数值例子

例子 11-4：16QAM LLR 计算

参数： - \(h = 1\) - \(\sigma^2 = 0.2\) - \(y = 0.5 + 0.8j\)

信道补偿： \(\tilde{y} = 0.5 + 0.8j\)

归一化常数： \(1/\sqrt{10} \approx 0.316\)

LLR(b₀)：

\(\tilde{y}_I = 0.5\)

\(2/\sqrt{10} \approx 0.632\)

\(|\tilde{y}_I| \leq 2/\sqrt{10}\)，用中间公式：

\[LLR(b_0) \approx \frac{1}{0.2} \times 0.5 = 2.5\]

LLR(b₁)：

\(\tilde{y}_I = 0.5\)

\(1/\sqrt{10} < \tilde{y}_I \leq 3/\sqrt{10}\)（\(0.316 < 0.5 \leq 0.948\)）

\[LLR(b_1) \approx \frac{1}{0.2} \times (-0.5 + 0.316) = 5 \times (-0.184) = -0.92\]

LLR(b₂)：

\(\tilde{y}_Q = 0.8\)

\(2/\sqrt{10} < \tilde{y}_Q \leq 3/\sqrt{10}\)

\[LLR(b_2) \approx \frac{1}{0.2} \times (0.8 - 0.632) = 5 \times 0.168 = 0.84\]

LLR(b₃)：

\(\tilde{y}_Q = 0.8\)

\(1/\sqrt{10} < \tilde{y}_Q \leq 3/\sqrt{10}\)

\[LLR(b_3) \approx \frac{1}{0.2} \times (-0.8 + 0.948) = 5 \times 0.148 = 0.74\]

输出 LLR： [+2.5, -0.92, +0.84, +0.74]

硬判决： [0, 1, 0, 0]

⚠️ 常见误区

误区 1： "16QAM 的 LLR 公式很复杂，无法手算"

纠正： 分段线性公式，每段都很简单！

误区 2： "LLR 必须用精确公式"

纠正： Max-Log 近似性能损失小（< 1 dB），复杂度低得多。

误区 3： "所有比特的 LLR 公式相同"

纠正： MSB（b₀, b₂）和 LSB（b₁, b₃）公式不同！

✏️ 练习题 11.4

基础题 11-5：

16QAM，\(h=1\)，\(\sigma^2=0.5\)，\(y = -0.9+0.2j\)。计算 LLR(b₀)。

答案： 

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ỹ_I = -0.9
2/√10 ≈ 0.632

ỹ_I < -2/√10，用第三段公式：
LLR(b₀) ≈ (1/0.5) × (-0.9 + 0.632) = 2 × (-0.268) = -0.536

LLR < 0 → 判为 1

进阶题 11-6：

推导 16QAM 的精确 LLR 公式（不用 Max-Log 近似）。

提示： 

1
2
LLR(b₀) = log(Σ_{x∈S₀} exp(-|y-hx|²/σ²) / Σ_{x∈S₁} exp(-|y-hx|²/σ²))
需要计算 8 个指数项的和

📌 本章小结

关键公式速查

调制 比特 LLR 公式（Max-Log）
BPSK b₀ $\frac{4
QPSK b₀ $\frac{2\sqrt{2}
QPSK b₁ $\frac{2\sqrt{2}
16QAM b₀ 分段线性（见正文）
16QAM b₁ 分段线性（见正文）

LLR 解释

LLR 范围 判决 可靠性
LLR > +5 0 很高
+2 < LLR ≤ +5 0 高
0 < LLR ≤ +2 0 中
-2 ≤ LLR ≤ 0 1 中
-5 ≤ LLR < -2 1 高
LLR < -5 1 很高

与后续章节的联系

  • 第 12 章（信道解码）： LLR 作为软输入解码器的输入

🎓 本章完成检查

在完成第 12 章之前，确保你能：

  • 解释硬判决与软判决的区别
  • 推导 LLR 的完整公式
  • 说明 Max-Log 近似的原理
  • 计算 BPSK 的 LLR
  • 计算 QPSK 的 LLR
  • 计算 16QAM 的 LLR（分段公式）
  • 解释 LLR 值的物理意义
  • 说明软信息在解码中的作用

全部掌握？ → 继续学习 第 12 章 信道解码

还有疑问？ → 重读本章节，或做更多练习题

第 11 章 结束